Nombre 4-polytopique

En arithmétique géométrique, un nombre 4-polytopique, ou nombre 4-hyperpolyédrique, ou encore nombre polychorique, est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un 4-polytope, ou polychore.

Cas des 4-polytopes réguliers

Formules

Si l'on note $P_{n}$ le nombre de points à l'étape $n$ où il y a $n$ points dans chaque arête extérieure du polytope, on a les formules :

Nombre 4-polytopique	$P_{n}$	Les dix premiers nombres	Rang OEIS
nombre pentachorique ou 4-hypertétraédrique	${\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{120}}$	1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715	suite A000332 de l'OEIS
Nombre octachorique ou 4-hypercubique	$n^{4}$	1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000	suite A000583 de l'OEIS
Nombre hexadécachorique ou 4-hyperoctaédrique	${n^{2}(n^{2}+2) \over 3}$	1, 8, 33, 96, 225, 456, 833, 1408, 2241, 3400	suite A014820 de l'OEIS
Nombre icositétrachorique ou hypergranatoédrique	$n^{2}(3n^{2}-4n+2)$	1, 24, 153, 544, 1425, 3096, 5929, 10368, 16929, 26200	suite A092181 de l'OEIS
Nombre hecatonicosachorique ou hyperdodécaédrique	${n(261n^{3}-504n^{2}+283n-38) \over 2}$	1, 600, 4983, 19468, 53505, 119676, 233695, 414408, 683793, 1066960	suite A092183 de l'OEIS
Nombre hexacosichorique ou hypericosaédrique	${n(145n^{3}-280n^{2}+179n-38) \over 6}$	1, 120, 947, 3652, 9985, 22276, 43435, 76952, 126897, 197920	suite A092182 de l'OEIS

Notons que $P_{1}$ est le nombre de sommets du polytope correspondant.

Principe d'obtention de ces formules

On considère un 4-polytope régulier à S sommets, A arêtes, F faces et C cellules et on note $d_{A},d_{F},d_{C}$ les nombres respectifs d'arêtes, de faces et de cellules adjacentes à un sommet donné : Supposons que la figure de l'étape $n-1$ soit construite ; on obtient la figure de l'étape $n$ en ajoutant :

• $S-1$ nouveaux points situés aux $S-1$ nouveaux sommets,

• $(n-2)(A-d_{A})$ nouveaux points situés à l'intérieur des $A-d_{A}$ nouvelles arêtes,
• $(P_{k,n}-k(n-1))(F-d_{F})$ nouveaux points situés à l'intérieur des $F-d_{F}$ nouvelles faces k-gonales, $P_{k,n}$ étant le nombre k-gonal d'ordre $n$.
• $Q_{n}(C-d_{C})$ nouveaux points situés à l'intérieur des $C-d_{C}$ nouvelles cellules, $Q_{n}$ étant le nombre polyédrique d'ordre $n$ associé aux cellules, auquel on retranche le nombre de points situés sur sa frontière.

Si l'on note $P_{n}$ le nombre de points à l'étape $n$, on a donc $P_{n}-P_{n-1}=(S-1)+(A-d_{A})(n-2)+(F-d_{F})(P_{k,n}-k(n-1))+(C-d_{C})Q_{n}$.

Partant de $P_{0}=0$, on obtient donc $P_{n}$ en écrivant $P_{n}=\sum _{k=1}^{n}(P_{k}-P_{k-1})$.

Exemple pour le 4-hypercube

Pour le 4-hypercube, $S=16,A=32,F=24,C=8$, $d_{A}=4,d_{F}=6,d_{S}=4$ ; $k=4$ et $P_{4,n}=n^{2}$ ; enfin $Q_{n}=n^{3}-8-12(n-2)-6(n^{2}-4(n-1))$.

On obtient $P_{n}-P_{n-1}=4n^{3}-6n^{2}+4n-1=n^{4}-(n-1)^{4}$, ce qui donne bien $P_{n}=n^{4}$.

Voir aussi

• Nombre polyédrique
• Nombre 4-polytopique centré
• Nombre polytopique