Nombre polyédrique centré

En mathématiques, un nombre polyédrique centré est un nombre figuré comptant comptant des points disposés dans un polyèdre par couches successives autour d'une droite centrale ou d'un centre.

Cas d'une pyramide : nombres pyramidaux centrés

Autour de l'axe de la pyramide

On dispose dans une pyramide à base $k$-gonale une première couche de points k-gonale centrée d'ordre $n$ dans la base puis une couche d'ordre $n-1$, etc. jusqu'au sommet de la pyramide.

Le $n$-ième nombre $k$-pyramidal centré $PC_{k,n}$ est donc la somme des nombres $k$-gonaux centrés $C_{k,i}$ pour $i$ allant de 1 à $n$ (en commençant par la pointe de la pyramide) : $PC_{k,n}=\sum _{i=1}^{n}C_{k,i}=\sum _{i=1}^{n}\left(1+k{\frac {i(i-1)}{2}}\right)={\frac {1}{6}}n(k(n^{2}-1)+6)$ .

Exemples

• Nombres pyramidaux triangulaires centrés : $PC_{3,n}={\frac {1}{2}}n(n^{2}+1)$, suite A006003 de l'OEIS : 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505,...

• Nombres pyramidaux carrés centrés : $PC_{4,n}={\frac {1}{3}}n(2n^{2}+1)$, suite A005900 de l'OEIS : 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670,..., égaux aux nombres octaédriques.
• Nombres pyramidaux pentagonaux centrés : $PC_{5,n}={\frac {1}{6}}n(5n^{2}+1)$, suite A004068 de l'OEIS :1, 7, 23, 54, 105, 181, 287, 428, 609,...

• Nombres pyramidaux hexagonaux centrés : $PC_{6,n}=n^{3}$, égaux aux nombres cubiques.
• Nombres pyramidaux heptagonaux centrés : $PC_{7,n}={\frac {1}{6}}n(7n^{2}-1)$, suite A004126 de l'OEIS :1, 9, 31, 74, 145, 251, 399, 596,...
• Nombres pyramidaux octogonaux centrés : $PC_{8,n}={\frac {1}{6}}n(2n-1)(2n+1)$, suite A000447 de l'OEIS : 1, 10, 35, 84, 165, 286, 455,...

Autour du centre de la pyramide

La pyramide ayant $k$ faces triangulaires,1 face $k$-gonale, $k+1$ sommets et $2k$ arêtes, la couche pyramidale ajoutée à l'étape $n$ possède $k(P_{3,n}-3(n-1))+P_{k,n}-k(n-1)$ points correspondants aux intérieurs des faces, plus $2k(n-1)$ points situés à l'intérieur des arêtes, plus $k+1$ points situés aux sommets ; $P_{k,n}={n~{\big (}(k-2)n-(k-4){\big )} \over 2}$ est le nombre $k$-gonal d'ordre $n$.

On obtient $PC'_{k,n}-PC'_{k,n-1}=(k-1)(n-1)^{2}+2$, d'où $PC'_{k,n}=1+\sum _{i=1}^{n-1}((k-1)i^{2}+2)={\frac {(2n-1)((k-1)(n^{2}-n)+6)}{6}}$.

Exemples

• $k=3$ : on obtient les nombres tétraédriques centrés : $PC'_{3,n}=TC_{n}={\frac {1}{3}}(2n-1)(n^{2}-n+3)$.
• $k=4$ : $PC'_{4,n}={\frac {1}{2}}(2n-1)(n^{2}-n+2)$, suite A063488 de l'OEIS : 1, 6, 20, 49, 99, 176, 286, 435, 629, 874,...
• $k=5$ : on obtient les nombres octaédriques centrés : $PC'_{5,n}=OC_{n}={\frac {1}{2}}(2n-1)(n^{2}-n+2)$.
• $k=6$ : $PC'_{6,n}={\frac {1}{6}}(2n-1)(5n^{2}-5n+6)$, suite A063489 de l'OEIS : 1, 8, 30, 77, 159, 286, 468, 715, 1037, 1444,...
• $k=7$ : on obtient les nombres cubiques centrés : $PC'_{7,n}=CC_{n}=(2n-1)(n^{2}-n+1)$.
• $k=8$ : $PC'_{8,n}={\frac {1}{6}}(2n-1)(7n^{2}-7n+6)$ : suite A063490 de l'OEIS : 1, 10, 40, 105, 219, 396, 650, 995, 1445, 2014,...

Cas d'un prisme : nombres prismatiques centrés

On dispose dans un prisme à base $k$-gonale $n$ couches successives de points k-gonales centrées d'ordre $n$.

Le $n$-ième nombre $k$-prismatique centré $P_{k,n}$ est donc le nombre $k$-gonal centré $C_{k,i}$ multiplié par $n$ : $P_{k,n}={\frac {n}{2}}(kn^{2}-kn+2)$ .

Exemples

• Nombres prismatiques triangulaires centrés : $P_{3,n}={\frac {n}{2}}(3n^{2}-3n+2)$, suite A100175 de l'OEIS : 1, 8, 30, 76, 155,...

• Nombres prismatiques carrés centrés : $P_{4,n}=n(2n^{2}-2n+1)$, suite A059722 de l'OEIS : 1, 10, 39, 100, 205, ....
• Nombres prismatiques pentagonaux centrés : $P_{5,n}={\frac {n}{2}}(5n^{2}-5n+2)$, égaux aux nombres icosaédriques, suite A006564 de l'OEIS :1, 12, 48, 124, 255 ,...

• Nombres prismatiques hexagonaux centrés : $P_{6,n}=n(3n^{2}-3n+1)$, égaux aux nombres cubiques augmentés, suite A005915 de l'OEIS : 1, 14, 57, 148, 305, ....
• Nombres prismatiques heptagonaux centrés : $P_{7,n}={\frac {n}{2}}(7n^{2}-7n+2)$, suite A329530 de l'OEIS :1, 16, 66, 172, 355, ...
• Nombres prismatiques octogonaux centrés : $P_{8,n}=n(2n-1)^{2}$, suite A139757 de l'OEIS : 1, 18, 75, 196, 405, ...

Cas d'un polyèdre régulier ou semi-régulier

Première méthode

Nous suivons ici la référence qui prend la convention de prendre $n=0$ pour l'étape de départ (il y a donc $n+1$ points dans chaque arête à l'étape $n$) ; dans cette référence, chaque face du polyèdre étant décomposée en triangles, on décompose le polyèdre en tétraèdres joignant un point central à ces triangles. Chaque tétraèdre est rempli de points à la façon des nombres tétraédriques, les points situés dans deux faces triangulaires contigües devant coïncider.

Si $C_{n}$ est le nombre de points dans la couche numérotée $n$, $n\geqslant 1$, le nombre polyédrique centré d'ordre $n$ est $P_{n}=1+C_{1}+\cdots +C_{n}$ pour $n\geqslant 1$ , avec $P_{0}=1$.

On a $C_{n}=2(\alpha n^{2}+1)$ où $\alpha ={\frac {1}{4}}(F_{3}+2F_{4}+5F_{5}+6F_{6}+14F_{8})$ , $F_{k}$ étant le nombre de faces k-gonales du polyèdre, d'où $P_{n}=(2n+1){(\alpha n^{2}+\alpha n+3) \over 3}$.

Exemples

Nombre polyédrique centré	Nombre de faces	$C_{n}$	$P_{n}$	$P_{0},\cdots ,P_{9}$	Rang OEIS
Nombre tétraédrique centré	$F_{3}=4$	$2(n^{2}+1)$	$(2n+1){(n^{2}+n+3) \over 3}$	1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589	suite A005894 de l'OEIS
Nombre cubique centré	$F_{4}=6$	$2(3n^{2}+1)$	$(2n+1)(n^{2}+n+1)=n^{3}+(n+1)^{3}$	1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729	suite A005898 de l'OEIS
Nombre octaédrique centré	$F_{3}=8$	$2(2n^{2}+1)$	$(2n+1){(2n^{2}+2n+3) \over 3}$	1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159	suite A001845 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique centré Nombre octaédrique tronqué centré	${\begin{cases}F_{5}=12\\F_{4}=6,F_{6}=4\end{cases}}$	$2(15n^{2}+1)$	$(2n+1)(5n^{2}+5n+1)$	1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569	suite A005904 de l'OEIS
Nombre icosaédrique centré Nombre cuboctaédrique centré	${\begin{cases}F_{3}=20\\F_{3}=8,F_{4}=6\end{cases}}$	$2(5n^{2}+1)$	$(2n+1){(5n^{2}+5n+3) \over 3}$	1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, 1415, 2057, 2869	suite A005902 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique rhombique centré	$F_{4}=12$	$2(6n^{2}+1)$	$(2n+1)(2n^{2}+2n+1)=(n+1)^{4}-n^{4}$	1, 15, 65, 175, 369, 671, 1105, 1695, 2465, 3439, 4641	suite A005917 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique rhombique de l'Abbé Haüy	construction exotique	$8(6n^{2}-3n+1)$	$(2n+1)(8n^{2}+2n+1)$	1, 33, 185, 553, 1233, 2321, 3913, 6105	suite A046142 de l'OEIS
Nombre tétraédrique tronqué centré	$F_{3}=F_{6}=4$	$2(7n^{2}+1)$	$(2n+1){(7n^{2}+7n+3) \over 3}$	1, 17, 75, 203, 429, 781, 1287, 1975	suite A063494 de l'OEIS
Nombre cubique tronqué centré	$F_{3}=8,F_{8}=6$	$2(23n^{2}+1)$	$(2n+1){(23n^{2}+23n+3) \over 3}$	1, 49, 235, 651, 1389, 2541, 4199, 6455, 9401

Deuxième méthode

Nous suivons ici la référence, où le nombre de points par arête est égal à $n$.

Le polyèdre possède $F_{k}$ faces de degré $k$, S sommets et A arêtes, la couche polyédrique ajoutée à l'étape $n+1$ possède $\sum _{k\geqslant 3}(P_{k,{n+1}}-kn)$ points correspondants aux intérieurs des faces ($P_{k,n+1}$ est le nombre k-gonal avec $n+1$ points sur chaque côté), plus $A(n-1)$ points situés à l'intérieur des arêtes, plus S points situés aux sommets. On a donc $P_{n+1}-P_{n}=\sum _{k\geqslant 3}F_{k}\left({(n+1)~{\big (}(k-2)(n+1)-(k-4){\big )} \over 2}-kn\right)+A(n-1)+S$, soit $P_{n+1}-P_{n}={\frac {n-1}{2}}\sum _{k\geqslant 3}F_{k}((k-2)n-2)+A(n-1)+S$.

Partant de $P_{1}=1$, on obtient $P_{n}=1+\sum _{i=1}^{n-1}(P_{i+1}-P_{i})$.

Par exemple, $P_{2}=S+1$ (un point à chaque sommet et un point au centre).

Pour un polyèdre régulier à faces k - gonales dont les sommets sont de degré $d$, on a : $P_{n+1}-P_{n}=2\left({\frac {d(k-2)}{2(k+d)-kd}}n^{2}+1\right)$.

Exemples

Nombre polyédrique centré	faces, arêtes, sommets, degré d	$P_{n+1}-P_{n}$	$P_{n}$	$P_{1},\cdots ,P_{10}$	Rang OEIS
Nombre tétraédrique centré	$F_{3}=S=4,A=6,d=3$	$2(n^{2}+1)$	${\frac {1}{3}}(2n-1)(n^{2}-n+3)$	1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589	suite A005894 de l'OEIS
Nombre cubique centré	$F_{4}=6,A=12,S=8,d=3$	$2(3n^{2}+1)$	$(2n-1)(n^{2}-n+1)=n^{3}+(n-1)^{3}$	1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729	suite A005898 de l'OEIS
Nombre octaédrique centré	$F_{3}=8,A=12,S=6,d=4$	$2(2n^{2}+1)$	${\frac {1}{3}}(2n-1)(2n^{2}-2n+3)$	1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159	suite A001845 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique centré	$F_{5}=12,A=30,S=20,d=3$	$2(9n^{2}+1)$	$(2n-1)(3n^{2}-3n+1)$	1, 21, 95, 259, 549, 1001, 1651, 2535, 3689, 5149 ...	suite A193218 de l'OEIS
Nombre icosaédrique centré	$F_{3}=20,A=30,S=12,d=5$	$2(5n^{2}+1)$	${\frac {1}{3}}(2n-1)(5n^{2}-5n+3)$	1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, 1415, 2057, 2869	suite A005902 de l'OEIS
Nombre tétraédrique tronqué centré	$F_{3}=F_{6}=4,A=18,S=12$	$2(7n^{2}+1)$	${\frac {1}{3}}(2n-1)(7n^{2}-7n+3)$	1, 17, 75, 203, 429, 781, 1287, 1975	suite A063494 de l'OEIS
Nombre cubique tronqué centré	$F_{3}=8,F_{8}=6,A=36,S=24$	$2(23n^{2}+1)$	${\frac {1}{3}}(2n-1)(23n^{2}-23n+3)$	1, 49, 235, 651, 1389, 2541, 4199, 6455, 9401
Nombre octaédrique tronqué centré	$F_{4}=6,F_{6}=8,A=36,S=24$	$2(15n^{2}+1)$	$(2n-1)(5n^{2}-5n+1)$	1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569	suite A005904 de l'OEIS