Puissance quatrième parfaite

En arithmétique et en algèbre, une puissance quatrième parfaite, ou nombre hypercubique^[1] s'il est non nul (en tant que nombre figuré), est l'élévation à la puissance quatre d'un entier. C'est donc le carré d'un carré parfait.

Les premiers de ces nombres sont :

0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, 20736, 28561, 38416, 50625, 65536, 83521, 104976, 130321, 160 000, 194481, 234256, 279841, 331776, 390625, 456976, 531441, 614656, 707281, 810000, ... suite A000583 de l'OEIS .

Propriétés modifier

Le dernier chiffre d'une puissance quatrième (parfaite) en système décimal ne peut être que 0 (en fait 0000), 1, 5 (en fait 0625) ou 6.

Tout entier naturel est la somme d'au plus 19 puissances quatrièmes ; tout entier supérieur à 13792 est la somme d'au plus 16 puissances quatrièmes (voir le problème de Waring ).

Fermat savait qu'une puissance quatrième non nulle ne peut pas être la somme de deux autres puissances quatrièmes non nulles (c'est le cas n = 4 du dernier théorème de Fermat ; voir le théorème de Fermat sur les triangles rectangles ). Euler a conjecturé qu'une puissance quatrième non nulle ne peut pas s’écrire comme somme de trois puissances quatrièmes non nulles, mais 200 ans plus tard, en 1986, ceci a été réfuté par Elkies avec le contre-exemple :

206156734 = 18796760 4 + 15365639 4 + 2682440 4

.

Elkies a montré qu'il existe une infinité d'autres contre-exemples pour l'exposant 4 ; en voici quelques uns ^[2]:

28130014 = 2767624 4 + 1390400 4 + 673865 4

(Allan MacLeod)

87074814 = 8332208 4 + 5507880 4 + 1705575 4

(D.J. Bernstein)

121974574 = 11289040 4 + 8282543 4 + 5870000 4

(D.J. Bernstein)

160030174 = 14173720 4 + 12552200 4 + 4479031 4

(D.J. Bernstein)

164305134 = 16281009 4 + 7028600 4 + 3642840 4

(D.J. Bernstein)

4224814 = 414560 4 + 217519 4 + 95800 4

(Roger Frye, 1988)

6385232494 = 630662624 4 + 275156240 4 + 219076465 4

(Allan MacLeod, 1998)

Voir aussi modifier

Références modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fourth power » (voir la liste des auteurs).

↑ Charles-É. Jean, « Nombre hypercubique ou cubique D4 », sur Récréomath
↑ Quoted in Meyrignac, « Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers: Best Known Solutions », 14 février 2001 (consulté le 17 juillet 2017)

(en) Eric W. Weisstein, « Biquadratic Number », sur MathWorld

Arithmétique et théorie des nombres

[1] Charles-É. Jean, « Nombre hypercubique ou cubique D4 », sur Récréomath

[meyrignac-2] Quoted in Meyrignac, « Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers: Best Known Solutions », 14 février 2001 (consulté le 17 juillet 2017)

[1]

[2]