En géométrie algébrique, un morphisme affine peut être pensé comme une famille de schémas affines paramétrée par un schéma de base.

Définition

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Si X est un schéma, un ouvert affine de X est une partie ouverte U de X qui, munie de la structure de schéma induite par celle de X, soit un schéma affine.

Soit   un morphisme de schémas. On dit que   est un morphisme affine si pour tout ouvert affine   de  ,   est un ouvert affine de X.

On montre que cette propriété est équivalente à la suivante qui est plus facilement vérifiable: il existe un recouvrement de   par des ouverts affines   tels que   soit un ouvert affine de X pour tout i.

Exemples

  • Un morphisme entre deux schémas affines est toujours affine.
  • Une immersion ouverte dans un schéma affine n'est affine que si le schéma de départ est également affine.

Propriétés

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  • Une immersion fermée est un morphisme affine.
  • La composition de morphismes affines est affine.
  • Si   et   sont affines, alors le produit fibré   est affine.
  • Si   est affine si   est un morphisme de schémas, alors le changement de base   est affine.

Construction

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Un morphisme affine   induit un faisceau quasi-cohérent d'algèbres   sur  .

Inversement, si   est un faisceau quasi-cohérent d'algèbres sur  , alors on peut définir un Y-schéma   tel que pour tout ouvert affine V de Y,  .

Soit   un faisceau localement libre de rang r. On peut considérer le faisceau d'algèbres symétriques  . Le morphisme affine   est alors un fibré vectoriel[1]de rang r. Pour tout ouvert affine V de Y sur lequel   est libre,   est isomorphe à l'espace affine   sur V.

Morphismes finis

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Un morphisme fini est un morphisme affine   tel que   soit quasi-cohérent de type fini. Cela revient à dire que pour tout ouvert affine   de  ,   est affine, et   est fini sur   (en tant que module). Il suffit que cette propriété soit vraie sur un recouvrement affine de  .

Comme pour les morphismes affines, on a que les immersions fermées sont finies, et que la classe des morphismes finis est stable par composition, produit fibré et changement de base.

Les morphismes finis sont de type fini et même propres.

Si   est fini, alors   est fini (comme ensemble) pour tout point y de Y. Mais cette propriété ne caractérise pas les morphismes finis. Par exemple toute immersion ouverte vérifie cette propriété, mais n'est finie que si elle est aussi fermée.

  1. Hartshorne, Exercise II.5.18.

Bibliographie

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A. Grothendieck et J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique, Chapitre I. Springer Verlag, 1971. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften; 166).

(en) R. Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer Verlag, 1977. Graduate Texts in Maths. 52.