Module projectif

En mathématiques, un module projectif est un module P (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme surjectif f : NM entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : PM, il existe un morphisme h : PN tel que g = fh, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute :

Projective module.png

Autrement dit : P est projectif si pour tout module N, tout morphisme de P vers un quotient de N se factorise par N.

PropriétésModifier

RangModifier

Pour tout module projectif de type fini P sur un anneau commutatif A, le rang du Ap-module libre Pp est appelé le rang de P en p, et P est dit de rang n si son rang en tout p vaut n[6].

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. (en) Daniel Quillen, « Projective modules over polynomial rings », Invent. Math., vol. 36, no 1,‎ , p. 167-171 (DOI 10.1007/BF01390008)
  2. Daniel Ferrand, « Les modules projectifs de type fini sur un anneau de polynômes sur un corps sont libres », Séminaire Bourbaki, vol. 18, no 484,‎ , p. 202-221 (lire en ligne)
  3. (en) Tsit Yuen Lam, Serre's Problem on Projective Modules, Berlin, Springer, , 414 p. (ISBN 978-3-540-23317-6), p. 334 et Chap. V, Cor. 4.10
  4. (en) Hyman Bass, « Big projective modules are free », Illinois J. Math., vol. 7, no 1,‎ , p. 24-3, Corollary 4.5 (lire en ligne)
  5. (en) Irving Kaplansky, « Projective modules », Annals of Mathematics, vol. 68,‎ , p. 372-377
  6. (en) N. Bourbaki, Commutative Algebra : Chapters 1-7, Springer, , 625 p. (ISBN 978-3-540-64239-8, lire en ligne), p. 111-112, chap. II, § 5.3

RéférenceModifier

Articles connexesModifier