Module injectif

En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre homologique, un module injectif est un module Q (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme injectif f : XY entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : XQ, il existe un morphisme h : YQ tel que hf = g, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute :

Injective module.png

Autrement dit : Q est injectif si pour tout module Y, tout morphisme d'un sous-module de Y vers Q s'étend à Y.

Définitions équivalentesModifier

Les A-modules injectifs sont les objets injectifs (en) de la catégorie abélienne des A-modules (lesquels sont les objets projectifs (en) de la catégorie opposée). Par conséquent, on a le

Théorème — Le module Q est injectif si et seulement si le foncteur   (contravariant, exact à gauche) est exact.

On en déduit qu'un produit de modules est injectif si, et seulement si chaque facteur du produit est injectif.

Une autre caractérisation est :

Théorème — Un module est injectif si et seulement s'il est facteur direct dans tout module dont il est un sous-module.

En effet, si Q est un sous-module injectif d'un module Y alors le morphisme identité de Q sur lui-même peut se prolonger en un morphisme de Y sur Q, ce qui équivaut à dire que Q est facteur direct dans Y. La réciproque vient du fait que pour tout sous-module X d'un module Y, un morphisme de X dans Q s'étend toujours en un morphisme de Y dans la somme amalgamée Z de Q et Y sur X donc aussi, si le sous-module Q de Z est facteur direct, en un morphisme de Y dans Q.

ExemplesModifier

est un -module injectif, autrement dit un groupe abélien divisible.

Plus généralement, si A est un anneau intègre :

Critère de BaerModifier

Le critère de Baer est l'un des principaux moyens pour établir qu'un module est injectif :

Théorème — Le A-module à gauche Q est injectif si, et seulement si tout homomorphisme  , où   est un idéal à gauche, s'étend à  .

La condition nécessaire est évidente, la condition suffisante s'établit grâce au lemme de Zorn.

On montre à partir du critère de Baer le résultat suivant : si l'anneau A est noethérien à gauche, tout module somme directe de A-modules injectifs est injectif. Réciproquement, si tout module somme directe de A-modules à gauche injectifs est injectif, alors A est noethérien à gauche.

Enveloppe injectiveModifier

Soit M un A-module à gauche.

Théorème et définition — 

(1) Il existe un A-module à gauche   vérifiant les propriétés suivantes :

(i)   est injectif et il existe un monomorphisme   ;
(ii) pour tout module injectif I tel qu'il existe un monomorphisme  , il existe un monomorphisme   tel que le diagramme ci-dessous, dont toutes les lignes sont des suites exactes, commute :
 


(2) Un tel module   est unique à un isomorphisme près laissant inchangés les éléments de M, et est appelé l'enveloppe injective de M.

Exemple : Soit A un anneau principal, p un élément extrémal de A et  . Soit alors  . Le module   est enveloppe injective de   pour tout  .

Cogénérateurs injectifsModifier

Définition — Soit A un anneau et Q un A-module à gauche. Le module Q est appelé un cogénérateur si le foncteur   est fidèle. Cette définition reste valide dans une catégorie C quelconque.

Soit C une catégorie admettant des produits quelconques (ce qui est le cas des A-modules à gauche). Un objet Q est cogénérateur dans C si, et seulement si pour tout objet M de C il existe un ensemble I et un monomorphisme  .

Théorème — 

(1) Pour un A-module à gauche Q, les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) Q est cogénérateur ;
(ii) pour tout A-module à gauche M et tout élément non nul x appartenant à M, il existe un homomorphisme   tel que   ;
(iii) pour tout A-module simple à gauche S, Q contient un module isomorphe à l'enveloppe injective de S.

(2) Soit Q un A-module à gauche injectif. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(a) Q est cogénérateur ;
(b)   pour tout A-module à gauche simple S ;
(c) pour tout module simple S, il existe un ensemble I et un monomorphisme  .


Soit   un système représentatif de A-modules à gauche simples (c'est-à-dire une famille non vide de modules simples tels que   si   et pour tout module simple S il existe un indice   est un isomorphisme  ). Il découle de ce qui précède que le A-module à gauche   est un cogénérateur, appelé cogénérateur canonique, et il est injectif si A est noethérien à gauche. Un A-module à gauche Q est cogénérateur si, et seulement si, il existe un monomorphisme  . Ceci implique qu'il existe dans la catégorie des A-modules à gauche un cogénérateur, dont l'enveloppe injective est un cogénérateur injectif.


Exemple[2] : Soit A un anneau principal. Tout module simple S est de la forme  p est un élément extrémal. Puisque l'enveloppe injective de   est   (voir supra),  , où P est un système représentatif d'éléments extrémaux de A, est le cogénérateur canonique (unique à un isomorphisme près), et il est injectif.

En particulier, supposons que A soit l'anneau des opérateurs différentiels   . Un système représentatif d'éléments extrémaux de A est formé des  . Soit   le  -espace vectoriel engendré par les n fonctions   et  . Alors   est un épimorphisme de noyau  , qui induit donc un isomorphisme  . Par suite, il existe un isomorphisme

 ,

autrement dit le cogénérateur canonique est, à un isomorphisme près, l'espace des combinaisons linéaires d'exponentielles-polynômes (pour une généralisation, voir l'article Principe fondamental d'Ehrenpreis).

Il résulte des définitions qu'un A-module à gauche Q est cogénérateur injectif si, et seulement si le foncteur   (de la catégorie des Q-modules à gauche dans celle des groupes abéliens) est fidèle et exact (ceci reste valide si l'on remplace la catégorie des A-modules à gauche par une catégorie abélienne admettant des produits quelconques). Explicitons ce résultat :

Corollaire — Soit A un anneau,   des A-modules à gauche, et Q un A-module à gauche cogénérateur injectif. Alors la suite

 

est exacte (dans la catégorie des A-modules à gauche) si, et seulement si la suite

 

est exacte (dans la catégorie des groupes abéliens).

Application aux systèmes d'équations linéairesModifier

Les résultats de cette section, essentiellement dus à Oberst[3], ont fait récemment l'objet d'une présentation systématique un peu plus générale[2], reprise ci-dessous dans les grandes lignes.

Noyau et conoyauModifier

Soit A un anneau et  . Soit   la multiplication à droite par R,   son conoyau et Q un A-module à gauche.

(a) Le groupe abélien   s'identifie à   de la manière suivante : soit   la base canonique de  , et pour tout   soit  . Alors   est un isomorphisme canonique de   sur  .

(b) Par suite,   s'identifie aux éléments de   qui s'annulent sur  , donc à

 .

Systèmes d'équations linéaires non homogènesModifier

Supposons A noethérien à gauche et soit  . Puisque   est de type fini, il existe un entier   et une matrice  , dont les lignes en forment un ensemble générateur, et pour lesquels la suite ci-dessous est donc exacte :

 .

Théorème — Compte tenu des identifications ci-dessus, les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) Pour toute suite exacte telle que ci-dessus, la suite ci-dessous est exacte :

 .

(ii) Le module Q est injectif.

Considérons maintenant le système d'inconnue   :

 .

Puisque  , ce système linéaire ne peut avoir de solution que si la condition de compatibilité   est satisfaite. Or, l'exactitude de la seconde suite exacte ci-dessus signifie que  , donc que si  , alors il existe   tel que  . Par conséquent, si le module Q est injectif, la condition de compatibilité (qui est toujours nécessaire) est suffisante pour que le système linéaire non homogène ait une solution. De plus, pour que cela ait lieu pour tout système linéaire non homogène vérifiant la condition de compatibilité, il faut et il suffit que Q soit injectif.

Systèmes linéaires et modules cogénérateursModifier

Soit M un A-module à gauche de présentation finie et Q un A-module à gauche. Posons

 .

Posons d'autre part

 ,
 .

En désignant par   l'ensemble des sous-modules de type fini de  , la correspondance

 

est une connexion de Galois, à savoir que

 .

Théorème — Supposons Q cogénérateur. Alors :

(i) Pour tout  , autrement dit la connexion de Galois ci-dessus est bijective.

(ii) Soit  . Alors   si, et seulement si, il existe une matrice   telle que  . En particulier,   si, et seulement si   et il existe une matrice inversible   telle que   (« quasi-unicité de la matrice de définition »).

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. Plus précisément, soit un anneau commutatif intègre A. Tout A-module est divisible si, et seulement si A est un anneau de Dedekind.
  2. a et b Bourlès et Marinescu 2011
  3. Oberst 1990

RéférencesModifier

Articles connexesModifier