Transvection

En mathématiques, en particulier en géométrie, une transvection est une application linéaire ou affine, d'un espace vectoriel ou affine dans lui-même, se restreignant à l'identité dans un hyperplan et vérifiant une condition supplémentaire.

Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les dilatations.

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  Dessin d'origine.
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  Résultat par transvection horizontale.

Transvection vectorielle

Définitions

Illustration d'une transvection vectorielle.

Un endomorphisme d'un K-espace vectoriel $E$ est appelé une transvection s'il existe un hyperplan $H$ tel que tout vecteur a pour image lui-même s'il est dans $H$, et un translaté de lui-même par un vecteur de $H$ sinon.

Soient plus précisément f un endomorphisme, H = Ker(f – id) l'ensemble des vecteurs invariants, et D = Im(f – id) ; d'après le théorème du rang, si $H$ est un hyperplan, $D$ est une droite. Alors f est une transvection si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée:

• f est l'identité, ou bien $H$ est un hyperplan (base de la transvection) et la droite $D$, direction de la transvection, est incluse dans $H$ (c'est-à-dire que pour tout x de $E$, f(x) – x appartient à $H$).
• Ker(f – id) est l'espace tout entier ou un hyperplan, et (f – id)² = 0.
• Il existe une forme linéaire h sur $E$ et un vecteur u de Ker(h) tels que pour tout x de $E$ : f(x) = x + h(x)u.

En dimension finie, pour $f\neq {\text{id}}$, on peut rajouter les conditions :

• $H$ est un hyperplan et $\det f=1$.
• $H$ est un hyperplan et $f$ est non diagonalisable.

Propriétés

• Les transvections sont bijectives (f⁻¹(x) = x – h(x)u).

• En dimension finie, elles engendrent le groupe spécial linéaire $SL(E)$ des automorphismes de déterminant 1 de $E$.
• L'ensemble des transvections de base un hyperplan $H={\text{Ker }}h$, plus l'identité, en forme un sous-groupe, isomorphe au groupe additif $H$ (au vecteur u de $H$, faire correspondre la transvection x ↦ x + h(x)u).
• Toute transvection est le produit de deux dilatations.

Matrice de transvection

Dans une base de $E$ contenant une base de $H$ dont l'un des vecteurs est un vecteur directeur de $D$, la transvection a pour matrice une matrice du type

${\begin{pmatrix}1&&&0\\&1&&\lambda &\\&&\ddots &&\\&0&&1&\\&&&&1\end{pmatrix}}=I_{n}+\lambda E_{i,j}$

avec i ≠ j, la matrice E_i,j étant constituée de zéros partout sauf un 1 en position (i, j).

Ces matrices I_n + λE_i,j sont appelées matrices élémentaires de transvection ; elles engendrent le groupe spécial linéaire $SL_{n}(K)$.

La forme la plus réduite, qui est sa forme de Jordan, de la matrice d'une transvection différente de l'identité est

${\begin{pmatrix}I_{n-2}&{\begin{matrix}0&0\\\vdots &\vdots \\0&0\end{matrix}}\\{\begin{matrix}0&\ldots &0\\0&\ldots &0\end{matrix}}&{\begin{matrix}1&1\\0&1\end{matrix}}\end{pmatrix}}=I_{n}+E_{n-1,n}.$

Exemples

• 

  La transvection de $\mathbb {R} ^{2}$associée à la matrice ${\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}}$, illustrée ci-contre, est définie par $f(x,y)=(x+2y,y)=(x,y)+h(x,y)U$, où $h:=(x,y)\mapsto 2y$ et $U=(1,0)$ (cf. la troisième caractérisation ci-dessus) ; $f$ est une transvection de base l'axe des abscisses et de direction le même axe.
• Une transvection d'un espace vectoriel euclidien est entièrement définie par un vecteur normal et normé $n$ de son hyperplan $H$ de base, un vecteur normé ${\vec {u}}$ de sa direction, et le coefficient $\lambda$ défini par $f({\vec {n}})={\vec {n}}+\lambda {\vec {u}}$. On a alors : $f({\vec {x}})={\vec {x}}+\lambda ({\vec {x}}.{\vec {n}}){\vec {u}}$ . La matrice de $f$ dans une base orthonormée dont les $n-2$ premiers vecteurs sont dans $H$ et se terminant par $u$ et $n$ est $I_{n}+\lambda E_{n-1,n}$.

• Des transvections sont utilisées pour définir la courbe de Takagi.

Transvection affine

Une transvection d'un espace affine $E$ est soit l'identité, soit une application affine de $E$ dans $E$ dont l'ensemble des points invariants est un hyperplan $H$ de $E$ (base de la transvection) et telle que pour tout point $M$ le vecteur ${\overrightarrow {MM'}}$ reste parallèle à $H$.

Les vecteurs ${\overrightarrow {MM'}}$ forment alors une droite vectorielle ${\overrightarrow {D}}$ (direction de la transvection).

Une transvection affine a pour partie linéaire une transvection vectorielle. Réciproquement, les applications affines ayant pour partie linéaire une transvection vectorielle sont les transvections glissées, composée d'une transvection et d'une translation de vecteur parallèle à la base.

Étant donnés deux points $A$ et $A'$ tels que la droite $(AA')$ est parallèle à un hyperplan $H$, mais non incluse dans cet hyperplan, il existe une unique transvection de base $H$ envoyant $A$ sur $A'$  ; on obtient l'image $M'$ d'un point $M$ dans le cas où $(AM)$ est sécante à $H$ par la construction de la figure ci-contre ; dans le cas contraire, ${\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {AA'}}$.

Transvection en géométrie projective

Si l'on plonge l'espace affine $E$ dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini $H'$, on sait que l'on peut munir le complémentaire $E'$ de l'hyperplan $H$ d'une structure d'espace affine : les droites qui sont sécantes en un point de $H$ dans $E$ deviennent parallèles dans $E'$ et celles qui sont parallèles dans $E$ deviennent sécantes en un point de $H'$.

À toute transvection d'hyperplan $H$ de $E$ est alors associée une application affine de $E'$ qui n'est autre qu'une translation.

Si maintenant on envoie un autre hyperplan que $H$ et $H'$ à l'infini, la transvection devient une homologie spéciale ou élation.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les translations, les transvections, et les homologies spéciales.

• 
  Une transvection devient...
• 
  ...une translation si sa base $H$ est envoyée à l'infini.
• 
  Si inversement le point à l'infini de la direction ${\overrightarrow {D}}$ est ramené à distance finie, on obtient une élation.

Réalisation d'une transvection par perspective parallèle

On plonge l'espace euclidien $E_{n}\,$de dimension $n$ comme hyperplan d'un espace $E_{n+1}$ de dimension $n+1$ et on fait tourner $E_{n}\,$ autour d'un hyperplan $H\,$(qui est de dimension $n+1-2$), de façon à en obtenir une copie ${\tilde {E}}_{n}\,$.

Tout point $M\,$ de $E_{n}\,$ a une copie ${\tilde {M}}$ dans ${\tilde {E}}_{n}\,$, donc aussi l'image $M'\,$ de $M\,$ par une transvection de base $H\,$.

On montre que la droite $(M{\tilde {M}}')$ garde une direction fixe ${\overrightarrow {D}}$, ce qui montre que ${\tilde {M}}'$ s'obtient par projection de $M\,$ dans E_n+1 (projection de base ${\tilde {E}}_{n}$ et de direction ${\overrightarrow {D}}$). Connaissant ${\tilde {M}}'$, on en déduit $M'\,$par rotation.

Voir aussi

• Transformation géométrique
• Dilatation (géométrie)
• Homologie (géométrie)