En mathématiques, en particulier en géométrie, une transvection est une application linéaire ou affine, d'un espace vectoriel ou affine dans lui-même, se restreignant à l'identité dans un hyperplan et vérifiant une condition supplémentaire.

Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les dilatations.

Transvection vectorielle

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Définitions

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Illustration d'une transvection vectorielle.

Un endomorphisme d'un K-espace vectoriel   est appelé une transvection s'il existe un hyperplan   tel que tout vecteur a pour image lui-même s'il est dans  , et un translaté de lui-même par un vecteur de   sinon[1].

Soient plus précisément f un endomorphisme, H = Ker(f – id) l'ensemble des vecteurs invariants, et D = Im(f – id) ; d'après le théorème du rang, si   est un hyperplan,   est une droite[2]. Alors f est une transvection si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée[3],[4],[5],[6],[7]:

  • f est l'identité, ou bien   est un hyperplan (base de la transvection) et la droite  , direction de la transvection, est incluse dans   (c'est-à-dire que pour tout x de  , f(x) – x appartient à  ).
  • Ker(f – id) est l'espace tout entier ou un hyperplan, et (f – id)2 = 0.
  • Il existe une forme linéaire h sur   et un vecteur u de Ker(h) tels que pour tout x de   : f(x) = x + h(x)u[8].

En dimension finie, pour  , on peut rajouter les conditions[5] :

  •   est un hyperplan et  .
  •   est un hyperplan et   est non diagonalisable.

Propriétés

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  • Les transvections sont bijectives (f−1(x) = x – h(x)u).
  • En dimension finie, elles engendrent le groupe spécial linéaire   des automorphismes de déterminant 1 de  [3],[4],[9].
  • L'ensemble des transvections de base un hyperplan  , plus l'identité, en forme un sous-groupe, isomorphe au groupe additif   (au vecteur u de  , faire correspondre la transvection xx + h(x)u).
  • Toute transvection est le produit de deux dilatations[4].

Matrice de transvection

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Dans une base de   contenant une base de   dont l'un des vecteurs est un vecteur directeur de  , la transvection a pour matrice une matrice du type

 

avec i ≠ j, la matrice Ei,j étant constituée de zéros partout sauf un 1 en position (i, j).

Ces matrices In + λEi,j sont appelées matrices élémentaires de transvection[10] ; elles engendrent le groupe spécial linéaire  .

La forme la plus réduite, qui est sa forme de Jordan, de la matrice d'une transvection différente de l'identité est

 

Exemples

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  •  
    La transvection de  associée à la matrice  , illustrée ci-contre, est définie par  , où   et   (cf. la troisième caractérisation ci-dessus) ;   est une transvection de base l'axe des abscisses et de direction le même axe.
  • Une transvection d'un espace vectoriel euclidien est entièrement définie par un vecteur normal et normé   de son hyperplan   de base, un vecteur normé   de sa direction, et le coefficient   défini par  . On a alors :   [11]. La matrice de   dans une base orthonormée dont les   premiers vecteurs sont dans   et se terminant par   et   est  .

Transvection affine

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Une transvection d'un espace affine   est soit l'identité, soit une application affine de   dans   dont l'ensemble des points invariants est un hyperplan   de   (base de la transvection) et telle que pour tout point   le vecteur   reste parallèle à  .

Les vecteurs   forment alors une droite vectorielle   (direction de la transvection)[12].

 

Une transvection affine a pour partie linéaire une transvection vectorielle. Réciproquement, les applications affines ayant pour partie linéaire une transvection vectorielle sont les transvections glissées, composée d'une transvection et d'une translation de vecteur parallèle à la base.

Étant donnés deux points   et   tels que la droite   est parallèle à un hyperplan  , mais non incluse dans cet hyperplan, il existe une unique transvection de base   envoyant   sur    ; on obtient l'image   d'un point   dans le cas où   est sécante à   par la construction de la figure ci-contre ; dans le cas contraire,  [3].

Transvection en géométrie projective

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Si l'on plonge l'espace affine   dans son complété projectif[13], en lui adjoignant un hyperplan à l'infini  , on sait que l'on peut munir le complémentaire   de l'hyperplan   d'une structure d'espace affine : les droites qui sont sécantes en un point de   dans   deviennent parallèles dans   et celles qui sont parallèles dans   deviennent sécantes en un point de  .

À toute transvection d'hyperplan   de   est alors associée une application affine de   qui n'est autre qu'une translation.

Si maintenant on envoie un autre hyperplan que   et   à l'infini, la transvection devient une homologie spéciale ou élation.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les translations, les transvections, et les homologies spéciales[14],[9].

Réalisation d'une transvection par perspective parallèle

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On plonge l'espace euclidien  de dimension   comme hyperplan d'un espace   de dimension   et on fait tourner   autour d'un hyperplan  (qui est de dimension  ), de façon à en obtenir une copie  .

Tout point   de   a une copie   dans  , donc aussi l'image   de   par une transvection de base  .

On montre que la droite   garde une direction fixe  , ce qui montre que   s'obtient par projection de   dans En+1 (projection de base   et de direction  )[15]. Connaissant  , on en déduit  par rotation.



Notes et références

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  1. A. Bouvier, M. George, F. le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, PUF, , p. 846
  2. Ceci même en dimension infinie, car un supplémentaire du noyau d'un endomorphisme est toujours isomorphe à son image.
  3. a b et c Claude Tisseron, Géométries affine, projective et euclidienne, Hermann, , p. 71-73
  4. a b et c Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, euclidienne et anallagmatique, Ellipses, , p. 91-96
  5. a et b Ludovic Marquis, « Théorie des groupes et géométrie / Transvection et dilatation », p. 82
  6. « Exercice », sur perso.univ-rennes1.fr/marie-pierre.lebaud/agint/.
  7. Jean Fresnel, Méthodes modernes de Géométrie, Hermann, , p. 71,72
  8. Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géometrie élémentaire, Hermann, (OCLC 602892060), chap. III, paragraphe 3, exercice 6.
  9. a et b Alain Bigard, Géométrie, cours et exercices corrigés pour le capes et l'agrégation, Masson, , p. 76-80, 114-116
  10. « Générateurs du groupe linéaire »
  11. « Endomorphismes des espaces euclidiens, exercice 12 »
  12. Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie: préparation au CAPES et à l'agrégation, Editions Publibook Université, (lire en ligne), p. 87-93
  13. François Labourie, « Géométrie affine et projective / Complétion projective d’un espace affine »
  14. Jean-Claude Sidler, Géométrie projective, InterEditions, , p. 40-41
  15. Voir cette page sur le site de l'université de Modène une réalisation concrète de ce procédé.

Voir aussi

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