Transvection
En mathématiques, en particulier en géométrie, une transvection est une application linéaire ou affine, d'un espace vectoriel ou affine dans lui-même, se restreignant à l'identité dans un hyperplan et vérifiant une condition supplémentaire.
Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les dilatations.
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Dessin d'origine.
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Résultat par transvection horizontale.
Transvection vectorielle
modifierDéfinitions
modifierUn endomorphisme d'un K-espace vectoriel est appelé une transvection s'il existe un hyperplan tel que tout vecteur a pour image lui-même s'il est dans , et un translaté de lui-même par un vecteur de sinon[1].
Soient plus précisément f un endomorphisme, H = Ker(f – id) l'ensemble des vecteurs invariants, et D = Im(f – id) ; d'après le théorème du rang, si est un hyperplan, est une droite[2]. Alors f est une transvection si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée[3],[4],[5],[6],[7]:
- f est l'identité, ou bien est un hyperplan (base de la transvection) et la droite , direction de la transvection, est incluse dans (c'est-à-dire que pour tout x de , f(x) – x appartient à ).
- Ker(f – id) est l'espace tout entier ou un hyperplan, et (f – id)2 = 0.
- Il existe une forme linéaire h sur et un vecteur u de Ker(h) tels que pour tout x de : f(x) = x + h(x)u[8].
En dimension finie, pour , on peut rajouter les conditions[5] :
- est un hyperplan et .
- est un hyperplan et est non diagonalisable.
Propriétés
modifier- Les transvections sont bijectives (f−1(x) = x – h(x)u).
- En dimension finie, elles engendrent le groupe spécial linéaire des automorphismes de déterminant 1 de [3],[4],[9].
- L'ensemble des transvections de base un hyperplan , plus l'identité, en forme un sous-groupe, isomorphe au groupe additif (au vecteur u de , faire correspondre la transvection x ↦ x + h(x)u).
- Toute transvection est le produit de deux dilatations[4].
Matrice de transvection
modifierDans une base de contenant une base de dont l'un des vecteurs est un vecteur directeur de , la transvection a pour matrice une matrice du type
avec i ≠ j, la matrice Ei,j étant constituée de zéros partout sauf un 1 en position (i, j).
Ces matrices In + λEi,j sont appelées matrices élémentaires de transvection[10] ; elles engendrent le groupe spécial linéaire .
La forme la plus réduite, qui est sa forme de Jordan, de la matrice d'une transvection différente de l'identité est
Exemples
modifier- Une transvection d'un espace vectoriel euclidien est entièrement définie par un vecteur normal et normé de son hyperplan de base, un vecteur normé de sa direction, et le coefficient défini par . On a alors : [11]. La matrice de dans une base orthonormée dont les premiers vecteurs sont dans et se terminant par et est .
- Des transvections sont utilisées pour définir la courbe de Takagi.
Transvection affine
modifierUne transvection d'un espace affine est soit l'identité, soit une application affine de dans dont l'ensemble des points invariants est un hyperplan de (base de la transvection) et telle que pour tout point le vecteur reste parallèle à .
Les vecteurs forment alors une droite vectorielle (direction de la transvection)[12].
Une transvection affine a pour partie linéaire une transvection vectorielle. Réciproquement, les applications affines ayant pour partie linéaire une transvection vectorielle sont les transvections glissées, composée d'une transvection et d'une translation de vecteur parallèle à la base.
Étant donnés deux points et tels que la droite est parallèle à un hyperplan , mais non incluse dans cet hyperplan, il existe une unique transvection de base envoyant sur ; on obtient l'image d'un point dans le cas où est sécante à par la construction de la figure ci-contre ; dans le cas contraire, [3].
Transvection en géométrie projective
modifierSi l'on plonge l'espace affine dans son complété projectif[13], en lui adjoignant un hyperplan à l'infini , on sait que l'on peut munir le complémentaire de l'hyperplan d'une structure d'espace affine : les droites qui sont sécantes en un point de dans deviennent parallèles dans et celles qui sont parallèles dans deviennent sécantes en un point de .
À toute transvection d'hyperplan de est alors associée une application affine de qui n'est autre qu'une translation.
Si maintenant on envoie un autre hyperplan que et à l'infini, la transvection devient une homologie spéciale ou élation.
En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les translations, les transvections, et les homologies spéciales[14],[9].
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Une transvection devient...
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...une translation si sa base est envoyée à l'infini.
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Si inversement le point à l'infini de la direction est ramené à distance finie, on obtient une élation.
Réalisation d'une transvection par perspective parallèle
modifierOn plonge l'espace euclidien de dimension comme hyperplan d'un espace de dimension et on fait tourner autour d'un hyperplan (qui est de dimension ), de façon à en obtenir une copie .
Tout point de a une copie dans , donc aussi l'image de par une transvection de base .
On montre que la droite garde une direction fixe , ce qui montre que s'obtient par projection de dans En+1 (projection de base et de direction )[15]. Connaissant , on en déduit par rotation.
Notes et références
modifier- ↑ A. Bouvier, M. George, F. le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, PUF, , p. 846
- ↑ Ceci même en dimension infinie, car un supplémentaire du noyau d'un endomorphisme est toujours isomorphe à son image.
- Claude Tisseron, Géométries affine, projective et euclidienne, Hermann, , p. 71-73
- Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, euclidienne et anallagmatique, Ellipses, , p. 91-96
- Ludovic Marquis, « Théorie des groupes et géométrie / Transvection et dilatation », p. 82
- ↑ « Exercice », sur perso.univ-rennes1.fr/marie-pierre.lebaud/agint/.
- ↑ Jean Fresnel, Méthodes modernes de Géométrie, Hermann, , p. 71,72
- ↑ Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géometrie élémentaire, Hermann, (OCLC 602892060), chap. III, paragraphe 3, exercice 6.
- Alain Bigard, Géométrie, cours et exercices corrigés pour le capes et l'agrégation, Masson, , p. 76-80, 114-116
- ↑ « Générateurs du groupe linéaire »
- ↑ « Endomorphismes des espaces euclidiens, exercice 12 »
- ↑ Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie: préparation au CAPES et à l'agrégation, Editions Publibook Université, (lire en ligne), p. 87-93
- ↑ François Labourie, « Géométrie affine et projective / Complétion projective d’un espace affine »
- ↑ Jean-Claude Sidler, Géométrie projective, InterEditions, , p. 40-41
- ↑ Voir cette page sur le site de l'université de Modène une réalisation concrète de ce procédé.