Dilatation (géométrie)

Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les transvections.

Dessin d'origine
Résultat de la dilatation


Dilatation vectorielleModifier

Une dilatation d'un espace vectoriel E est une affinité de base un hyperplan, et de rapport non nul.

Les dilatations sont bijectives. L'ensemble des dilatations de base et direction fixées forme un sous-groupe du groupe linéaire GL(E), isomorphe au groupe multiplicatif du corps de base.

En dimension finie, un automorphisme de E est diagonalisable si et seulement s'il est produit commutatif de dilatations ; si de plus le corps de base a au moins 3 éléments, GL(E) est engendré par les dilatations.

Matrice de dilatationModifier

Dans une base de   formée de vecteurs de la base et de la direction de la dilatation, la dilatation a pour matrice une matrice du type  . Ces matrices sont donc appelées matrices de dilatation.

Dilatation affineModifier

Une dilatation d'un espace affine E est une affinité de base un hyperplan, et de rapport non nul ; ce sont les applications affines de partie linéaire une dilatation vectorielle, sauf dans le cas du rapport 1.

Étant donnés deux points A et A' et un hyperplan H non parallèle à la droite (AA'), il existe une unique dilatation de base H envoyant A sur A' ; on obtient facilement l'image M' d'un point M par la construction :

 

En dimension finie, et si le corps de base a au moins 3 éléments, le groupe affine GA(E) est engendré par les dilatations.

Dilatation projectiveModifier

Si l'on plonge l'espace affine   dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini  , on sait que l'on peut munir le complémentaire   de l'hyperplan   d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de   dans   deviennent parallèles dans   et celles qui sont parallèles dans   deviennent sécantes en un point de  ).

À toute dilatation d'hyperplan   de   est alors associée une application affine de   qui n'est autre qu'une homothétie.

Les dilatations en perspective deviennent donc en fait des homothéties. Si l'on regarde par avion une dilatation de base parallèle à la ligne d'horizon, on voit une homothétie dont le centre est sur la ligne d'horizon :

 

Si maintenant on envoie un autre hyperplan que   et   à l'infini, la dilatation devient une homologie non spéciale.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les homothéties, les dilatations, et les homologies non spéciales.

Dilatation orthogonaleModifier

Ce sont, dans le cas euclidien, les dilatations dont la base est orthogonale à la direction. Elles contiennent comme cas particulier les réflexions.

Réalisation d'une dilatation par perspective parallèleModifier

Plongeons l'espace euclidien   de dimension n comme hyperplan d'un espace   de dimension n+1 et faisons tourner   autour de son hyperplan  , de façon à en obtenir une copie  .

Tout point   de   a une copie   dans  , donc aussi l'image   de   par une dilatation de base  .

On montre que la droite   garde une direction fixe  , ce qui montre que   s'obtient par projection de   dans   (projection de base   et de direction  ).

Voir ici une réalisation concrète de ce procédé.

AnnexesModifier

Articles connexesModifier

RéférenceModifier

Source pour la partie projective : Alain Bigard, Géométrie, Cours et exercices corrigés pour le Capes et l'agrégation, Masson, 1998