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Les coordonnées de Kruskal-Szekeres sont le prolongement analytique maximal de la métrique de Schwarzschild. Elles apportent des solutions supplémentaires à celles de Schwarzschild, on y retrouve notamment un domaine dual à celui correspondant aux trous noirs : les trous blancs.

Sommaire

HistoriqueModifier

En décembre 1915, Karl Schwarzschild décrit la première solution exacte des équations d'Einstein, qui fait apparaitre une singularité inattendue, le rayon de Schwarzschild, dont la nature reste longtemps mal comprise.

En 1924, Arthur Eddington ébauche le premier système de coordonnées non singulier à ce fameux rayon[1]. En 1938, Georges Lemaître élabore une métrique synchrone (métrique de Lemaître) ; Finkelstein en découvre une autre, non-synchrone, en 1958[2], et nommée aujourd'hui métrique d'Eddington-Finkelstein (en). Synge démontrera que cette dernière métrique ne recouvre qu'une partie de la géométrie de l'espace-temps de Schwarzschild[3], tout comme celle de Lemaître : ces métriques ne permettent pas d'envisager tous les cas dynamiques d'un corps dans l'environnement d'un trou noir de Schwarzschild. Elles ont toutefois montré que ce rayon n'est pas une singularité réelle, physique, mais seulement pour la métrique choisie par Schwarzschild.

En 1960, Martin Kruskal et George Szekeres construisent une nouvelle métrique permettant d'étudier tous les types de mouvements d'un corps à l'extérieur et sous le rayon de Schwarzschild[4].

Les coordonnées de Kruskal-SzekeresModifier

Convention : la signature de la métrique est (– + + +).

Kruskal et Szekeres utilisent des coordonnées sans dimension,   pour la coordonnée radiale et   pour la coordonnée temporelle, définies dans le but d'éliminer le terme   dans la nouvelle métrique. Elles reconstruisent   par des fonctions transcendantes.

Les variables   et   sont définies par :

  •  
  •  


On distingue deux cas pour le temps :

  • si   alors   ;
  • si   alors  .

On obtient la métrique diagonale :

 

qui est définie pour tout  . Le temps t est par contre infini au rayon de Schwarzschild ( ).

PropriétésModifier

 
Représentation en coordonnées de Kruskal-Szekeres.

À la pathologie singulière de la métrique de Schwarzschild à   est substituée la relation  .

On a donc maintenant deux singularités :  .

Les droites   en coordonnées de Schwarzschild sont les hyperboles   en coordonnées de Kruskal. Leurs asymptotes sont les bissectrices   et  . Les droites   en coordonnées de Schwarzschild sont les droites   passant par l'origine en coordonnées de Kruskal. Les singularités sont représentées par les frontières des zones hyperboliques grises sur le dessin ci-contre.

Les géodésiques de type lumière sont les lignes orientées à 45°. Il est facile de vérifier que pour   , on a  .

La métrique de Schwarzschild différencie deux régions de l'espace-temps délimitées par l'horizon des événements. La région   est segmentée en deux avec la métrique de Kruskal-Szekeres.

La condition   correspond   à  .

La totalité de la géométrie de Schwarzschild est donc représentée par quatre régions différentes en coordonnées de Kruskal.

Notes et référencesModifier

  1. (en) A.S. Eddington, « A comparison of Whitehead's and Einstein's formulæ », (DOI 10.1038/113192a0, Bibcode 1924Natur.113..192E), p. 192 url=http://www.strangepaths.com/files/eddington.pdf
  2. Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions], §102, note en bas de page.
  3. Synge, J. L., The gravitational field of a particule, 1950, Proc. R. Irish Acad. A 53, 83-114.
  4. Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions], §103, note en bas de page. Landau y évoque également le travail de Igor Novikov qui, en 1963, obtient une métrique synchrone aux propriétés similaires.