Cette loi est parfois appelée loi de Galton. Elle est habituellement notée dans le cas d'une seule variable ou dans un contexte multidimensionnel.
Une variable peut être modélisée par une loi log-normale si elle est le résultat de la multiplication d'un grand nombre de petits facteurs indépendants[1].
pour .
Les paramètres et sont l'espérance et l'écart type du logarithme de la variable (puisque par définition, le logarithme de la variable est distribué selon une loi normale d'espérance et d'écart-type ).
Il suffit de dériver la densité de la loi log-normale pour vérifier les résultats suivants :
En x = 0, la singularité de la densité n’est qu’apparente car elle satisfait
La fonction peut ainsi être prolongée en 0 de manière continue en lui attribuant la valeur 0.
Lorsque la valeur du mode est très faible ( et comme dans le cartouche ci-dessus), le graphe de la densité semble diverger en 0, ce qui n’est formellement pas le cas.
Comme l’indique son mode, la densité admet un maximum en où sa valeur atteint
Un vecteur aléatoire est dit suivre une loi log-normale multidimensionnelle de paramètres et si le vecteur (composante par composante) suit une loi normale multidimensionnelle dont le vecteur des espérances est et la matrice de covariance est .
Cette loi est habituellement notée .
La densité de probabilité et la fonction de répartition sont les suivantes :
où est la densité de .
où est la fonction de répartition de .
Les espérances et covariances sont données par les relations (valables également dans le cas dégénéré) :
Eléments de justification
Une évaluation de la densité de peut se baser sur la définition informelle de la densité, en exploitant celle de (loi normale multidimensionnelle) après avoir effectué le changement de variable
Les expressions relatives à l’espérance et à la covariance se déduisent de la fonction génératrice des moments de la loi normale multidimensionnelle, soit
A l’aide du même changement de variable, on obtient respectivement
peut être singulière (cas dégénéré) sans nécessairement impliquer que le soit. Exemple :
À toute matrice semi-définie positive, on peut associer un vecteur normal dont elle est la covariance. Par contre, il n’existe pas nécessairement un vecteur log-normal dont elle soit la covariance. En effet, avec la relation , toute matrice semi-définie positive conduit à une matrice semi-définie positive, mais l’inverse n’est généralement pas vrai. Un contre-exemple où est définie positive alors que ne l’est pas :
Les relations caractérisant les espérances et les covariances pouvant se déduire de la fonction génératrice des moments de la loi normale multidimensionnelle, la matrice de covariance doit naturellement être semi-définie positive. Ce résultat est ici présenté de manière directe.
Puisque les espérances sont strictement positives, est semi-définie positive si et seulement si l’est : il suffit alors de considérer uniquement cette dernière matrice. Puisque la positivité de est la seule propriété qui est exploitée, on notera cette matrice qui ne fait plus référence à une covariance.
Lemme —
Soit une matrice semi-définie positive et un entier positif. Alors la matrice définie par l’est également.
Proposition 1 —
Si est semi-définie positive, alors l’est également.
Historiquement nommée loi de l'effet proportionnel, puis parfois loi log-normale à 3 paramètres, cette loi est une généralisation de la loi log-normale obtenue par l’ajout d’une simple translation en posant
.
Elle est notée et ne concerne que des valeurs Son utilisation devrait se limiter aux situations où cette borne inférieure possède un sens physique et dont la valeur est connue.
Les cours n’étant pas négatifs, il est pertinent d'exprimer leurs variations sous forme relative (en pourcentage) et, en première approximation, les cours sont décrits par une loi log-normale.
D’autre part, une raison plus profonde réside dans l’estimation de la volatilité du cours d’une action qui peut être définie par l’écart-type du rendement :
Si le prix d’une cotation passe de P1 à P2 durant une période d’un jour, le rendement journalier est r = P2 / P1 -1 et, à ce rythme, l’expression continue du rendement R annuel satisfait (T = 365 jours) :
On voit alors apparaître le lien entre la volatilité et la variable aléatoire qui affecte le logarithme du cours.
En génomique, il a été observé que les taux de mutations varient le long des chromosomes et leur distribution peut être approximée par une loi log-normale.
En mécanique des fluides, la loi log-normale donne une bonne approximation de la fonction de distribution en taille de gouttes à la sortie d'un aérosol ou d'un jet pulvérisé.