Loi Log-normale
Image illustrative de l’article Loi log-normale
Densité de probabilité
μ=0

Image illustrative de l’article Loi log-normale
Fonction de répartition
μ=0

Paramètres
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Espérance
Médiane
Mode
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Entropie

En théorie des probabilités et statistique, une variable aléatoire X est dite suivre une loi log-normale de paramètres et si la variable suit une loi normale d'espérance et de variance .

Cette loi est parfois appelée loi de Galton. Elle est habituellement notée dans le cas d'une seule variable ou dans un contexte multidimensionnel.

Une variable peut être modélisée par une loi log-normale si elle est le résultat de la multiplication d'un grand nombre de petits facteurs indépendants[1].

CaractérisationModifier

DensitéModifier

La loi log-normale de paramètres   et   admet pour densité de probabilité

 

pour  . Les paramètres   et   sont l'espérance et l'écart type du logarithme de la variable (puisque par définition, le logarithme de la variable est distribué selon une loi normale d'espérance   et d'écart-type  ).

Fonction de répartitionModifier

Par intégration de la fonction de densité, il vient que la fonction de répartition s'exprime en fonction de la fonction d'erreur erf :

 

MomentsModifier

Tous les moments existent et sont donnés par :

 

Espérance et écart-typeModifier

L'espérance est

 

et la variance est

 

Des relations équivalentes permettent d'obtenir   et   étant données l'espérance et l'écart-type :

 
 

Autres relationsModifier

 
 
 

  est une variable normale quelconque de variance  .

Pour deux variables log-normales, les relations sont indiquées dans le contexte multidimensionnel ci-dessous.

Comportement de la densitéModifier

Il suffit de dériver la densité de la loi log-normale pour vérifier les résultats suivants :

  • En x = 0, la singularité de la densité n’est qu’apparente car elle satisfait
 
La fonction peut ainsi être prolongée en 0 de manière continue en lui attribuant la valeur 0.
Lorsque la valeur du mode est très faible (  et   comme dans le cartouche ci-dessus), le graphe de la densité semble diverger en 0, ce qui n’est formellement pas le cas.
  • Comme l’indique son mode, la densité admet un maximum en   où sa valeur atteint
 

Loi log-normale multidimensionnelleModifier

Un vecteur aléatoire   est dit suivre une loi log-normale multidimensionnelle de paramètres   et   si le vecteur   (composante par composante) suit une loi normale multidimensionnelle dont le vecteur des espérances est   et la matrice de covariance est  .

Cette loi est habituellement notée  .


La densité de probabilité et la fonction de répartition sont les suivantes :

   est la densité de  .
   est la fonction de répartition de  .


Les espérances et covariances sont données par les relations (valables également dans le cas dégénéré) :

 
 


Remarques :

  • Attention : la matrice de terme générique   n’a rien à voir avec l’exponentielle de la matrice  
  •   peut être singulière (cas dégénéré) sans nécessairement impliquer que   le soit. Exemple : 
  • À toute matrice semi-définie positive, on peut associer un vecteur normal dont elle est la covariance. Par contre, il n’existe pas nécessairement un vecteur log-normal dont elle soit la covariance. En effet, avec la relation  , toute matrice   semi-définie positive conduit à une matrice   semi-définie positive, mais l’inverse n’est généralement pas vrai. Un contre-exemple où   est définie positive alors que   ne l’est pas : 

Positivité de la covarianceModifier

Les relations caractérisant les espérances et les covariances pouvant se déduire de la fonction génératrice des moments de la loi normale multidimensionnelle, la matrice de covariance doit naturellement être semi-définie positive. Ce résultat est ici présenté de manière directe.

Puisque les espérances   sont strictement positives,   est semi-définie positive si et seulement si   l’est : il suffit alors de considérer uniquement cette dernière matrice. Puisque la positivité de   est la seule propriété qui est exploitée, on notera cette matrice   qui ne fait plus référence à une covariance.

Lemme —  Soit   une matrice semi-définie positive et   un entier positif. Alors la matrice   définie par   l’est également.

Proposition 1 —  Si   est semi-définie positive, alors   l’est également.

Résultats relatifs au spectre de   indiquant des bornes pour ses valeurs propres :

Proposition 2 —  Soit   semi-définie positive et notons

  •   les valeurs extrêmes des coefficients diagonaux  ,
  •   les valeurs propres extrêmes de  ,
  •   les valeurs propres extrêmes de  ,
  •   les valeurs propres extrêmes de  
Alors
  1.  
  2.  

Loi de GibratModifier

Historiquement nommée loi de l'effet proportionnel, puis parfois loi log-normale à 3 paramètres, cette loi est une généralisation de la loi log-normale obtenue par l’ajout d’une simple translation en posant

 .

Elle est notée   et ne concerne que des valeurs   Son utilisation devrait se limiter aux situations où cette borne inférieure possède un sens physique et dont la valeur est connue.

Domaines d'applicationModifier

Marchés financiersModifier

La loi log-normale est souvent utilisée en analyse quantitative pour représenter les cours des instruments financiers (notamment les actions, cours de change, taux d'intérêt). Avec la loi multidimensionnelle, il est possible d’envisager des modèles susceptibles de considérer différents titres et leurs corrélations, ce qui permet ainsi d’appréhender et de quantifier les risques d'un portefeuille.

Les cours n’étant pas négatifs, il est pertinent d'exprimer leurs variations sous forme relative (en pourcentage) et, en première approximation, les cours sont décrits par une loi log-normale.

D’autre part, une raison plus profonde réside dans l’estimation de la volatilité du cours d’une action qui peut être définie par l’écart-type du rendement :

Si le prix d’une cotation passe de P1 à P2 durant une période d’un jour, le rendement journalier est r = P2 / P1 -1 et, à ce rythme, l’expression continue du rendement R annuel satisfait (T = 365 jours) :
 

On voit alors apparaître le lien entre la volatilité   et la variable aléatoire qui affecte le logarithme du cours.

Autres domainesModifier

  • Le nombre de mots dans une phrase peut être modélisé par une loi log-normale[2].
  • La répartition des revenus dans la population peut également être approchée par une loi log-normale.
  • En biologie, on peut l'utiliser pour modéliser le poids des organismes vivants.
  • En hydrologie, les débits mensuels de petits bassins versants à régimes pluviaux[3].
  • En génomique, il a été observé que les taux de mutations varient le long des chromosomes et leur distribution peut être approximée par une loi log-normale.
  • En mécanique des fluides, la loi log-normale donne une bonne approximation de la fonction de distribution en taille de gouttes à la sortie d'un aérosol ou d'un jet pulvérisé.

Notes et référencesModifier

  1. Bernard Delmas, Statistique descriptive, Paris, Nathan, 1996, p. 143.
  2. Stéphane Tufféry, Data mining et statistique décisionnelle : l'intelligence des données, p. 347 sur Google Livres[source insuffisante].
  3. « Loi log-normale », sur Espace pédagogique Claroline, Université Montpellier 2.

Articles connexesModifier