Loi de Rice

Rice
Image illustrative de l’article Loi de Rice
Densité de probabilité
pour différentes valeurs de ν   avec σ = 1.
Rice probability density functions σ = 0.25
pour différentes valeurs de
ν   avec σ = 0,25.

Image illustrative de l’article Loi de Rice
Fonction de répartition
avec σ = 1,0 pour différentes valeurs de ν.
Rice cumulative distribution functions σ = 0.25
avec σ = 0,25 pour différentes valeurs de
ν.

Paramètres
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition

est la fonction Q de Marcum

Espérance
Variance
Asymétrie (compliqué)
Kurtosis normalisé (compliqué)

En statistiques et théorie des probabilités, la loi de Rice, nommée d'après Stephen O. Rice (en) (1907–1986), est une loi de probabilité à densité (c'est-à-dire continue).

C'est une généralisation de la loi de Rayleigh utilisée pour décrire le comportement d'un signal radio qui se propage selon plusieurs chemins (multipath) avant d'être reçu par une antenne.

CaractérisationModifier

Soient deux variables de Gauss centrées, indépendantes, de même variance σ2. Si on considère qu'elles représentent les deux coordonnées d'un point d'un plan, la distance de ce point à l'origine suit une loi de Rayleigh :

 .

En supposant que la distribution est centrée sur un point de coordonnées (ν cos θ, ν sin θ) (coordonnées polaires (ν , θ)), la densité de probabilité devient :

 

I0(z) est la fonction de Bessel modifiée de première espèce et d'ordre 0.

PropriétésModifier

MomentsModifier

Les premiers moments (non centrés) sont :

 
 
 
 
 
 
 

où, Lν(x) représente un polynôme de Laguerre.

Pour le cas ν = 1/2 :

 
 

Généralement les moments sont donnés par

 

s = σ1/2.

Lorsque k est pair, les moments deviennent des polynômes en σ et ν.

Distributions liéesModifier

  • La variable   est distribué selon une loi de Rice   à condition que   et   soient deux variables gaussiennes indépendantes.
  • Pour obtenir une variable  , on peut considérer une autre procédure :
  1. Tirer P selon une loi de Poisson, de paramètre  
  2. Tirer X selon une loi du χ2 avec 2P + 2 degrés de liberté.
  3. Poser R = σ X.
  • Si   alors R2 possède une distribution χ2 non centré, à 2 degrés de liberté et un paramètre de non-centralité ν2.

Cas limitesModifier

Pour de grandes valeurs de l'argument, le polynôme de Laguerre devient[1] :

 

On peut constater que lorsque ν devient grand ou que σ devient petit, alors la moyenne devient ν et la variance σ2.

Notes et référencesModifier

  1. (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun (éd.), Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, 1964; reprinted Dover Publications, 1965 (ISBN 0-486-61272-4), §13.5.1
  • (en) Stephen O. Rice, « Mathematical Analysis of Random Noise », dans Bell System Technical Journal, vol. 24, 1945, p. 46–156
  • (en) I. Soltani Bozchalooi et Ming Liang, « A smoothness index-guided approach to wavelet parameter selection in signal de-noising and fault detection », dans Journal of Sound and Vibration, vol. 308, no 1-2, 2007, p. 246–267 DOI:10.1016/j.jsv.2007.07.038
  • (en) John G. Proakis, Digital Communications, McGraw-Hill, 2000

Liens externesModifier