Loi de Student

loi de probabilité
Page d’aide sur l’homonymie Pour le test statistique, voir Test t.

Loi t de Student
Image illustrative de l’article Loi de Student
Densité de probabilité

Image illustrative de l’article Loi de Student
Fonction de répartition

Paramètres k > 0 (degrés de liberté)
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition 2F1 est la fonction hypergéométrique
Espérance
Médiane 0
Mode 0
Variance
  • si k ≤ 1 : forme indéterminée
  • si 1 < k ≤ 2 : +∞
  • si k > 2 :
Asymétrie
Kurtosis normalisé
  • si k ≤ 2 : forme indéterminée
  • si 2 < k ≤ 4 : +∞
  • si k > 4 :

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Student est une loi de probabilité, faisant intervenir le quotient entre une variable suivant une loi normale centrée réduite et la racine carrée d'une variable distribuée suivant la loi du χ2.

Elle est notamment utilisée pour les tests de Student , la construction d'intervalle de confiance et en inférence bayésienne.

Définition et propriétésModifier

Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et soit U une variable indépendante de Z et distribuée suivant la loi du χ2 à k degrés de liberté. Par définition, la variable

 

suit une loi de Student à k degrés de liberté.

 , alors  , où les Xi sont k variables aléatoires réelles i.i.d. de loi normale centrée-réduite.

La densité de T, notée fT, est donnée par :

 .

Γ est la fonction Gamma d'Euler.

La densité fT associée à la variable T est symétrique, centrée en 0 et en forme de cloche.

Son espérance ne peut pas être définie pour k = 1, et est nulle pour k > 1.

Sa variance est infinie pour k ≤ 1 et vaut k/k – 2 pour k > 2.

Comportement limiteModifier

Lorsque k est grand, la loi de Student peut être approchée par la loi normale centrée réduite. Une manière simple de le démontrer est d'utiliser le lemme de Scheffé.

HistoireModifier

Le calcul de la loi de Student a été publié en 1908 par William Gosset[1] pendant qu'il travaillait à la brasserie Guinness à Dublin. Il lui était interdit de publier sous son propre nom, c'est pour cette raison qu'il publia sous le pseudonyme de Student. Le test t et la théorie sont devenus célèbres grâce aux travaux de Ronald Fisher, qui a qualifié cette loi de « loi de Student »[2],[3].

La loi de Student dans l'échantillonnageModifier

Soient X1, ..., Xn, n variables mutuellement indépendantes et distribuées suivant une même loi normale   d’espérance μ et de variance σ2 qui correspondent à un échantillon de taille n. Considérons la moyenne empirique

 

et l'estimateur sans biais de la variance

 .

Par normalisation, la variable aléatoire

 

suit une loi normale standard (d’espérance 0 et de variance 1). La variable aléatoire obtenue en remplaçant σ par S dans   est

 ,

  suit la loi de Student à n – 1 degrés de liberté. Ce résultat est utile pour trouver des intervalles de confiance quand σ2 est inconnue, comme indiqué plus bas.

Pour justifier cela, on introduit la variable aléatoire

 

qui permet d'écrire   et

 

Pour terminer il faut montrer que Z et U sont indépendantes et que U suit une loi du χ2 à n – 1 degrés de liberté.

Remarquons la perte d'un degré de liberté car même s'il y a n variables aléatoires Xi indépendantes, les   ne le sont pas puisque leur somme fait 0.

Application : intervalle de confiance associé à l’espérance d’une variable de loi normale de variance inconnueModifier

Ce chapitre présente une méthode pour déterminer l'intervalle de confiance de l’espérance μ d’une loi normale. Notons que si la variance est connue, il vaut mieux utiliser directement la loi normale avec la moyenne  .

Théorème — Étant donné un risque   entre 0 et 1, on a

 

L'intervalle de confiance bilatéral de μ au niveau de confiance   est donné par :

 ,

avec  , l'estimateur ponctuel de l'espérance et  , l'estimateur non biaisé de la variance définis ci-dessus.

  est le quantile d’ordre   de la loi de Student à k degrés de liberté, c'est l'unique nombre qui vérifie

 

lorsque   suit la loi de Student à k degrés de liberté.

Par exemple, voici les tailles mesurées en cm sur un échantillon de 8 personnes

  1 2 3 4 5 6 7 8
  155 160 161 167 171 177 180 181

on en calcule la moyenne statistique   et la variance sans biais   :

 
 

Prenons un risque  , donc un niveau de confiance  . Aux arrondis près, le tableau des quantiles ci dessous donne  , et l'intervalle de confiance est

 

La probabilité que la taille moyenne de la population soit dans cet intervalle est de 95%. Or la taille moyenne des français est de 177 cm, mais 177 n'appartient pas à cet intervalle de confiance, on peut alors dire que cet échantillon ne correspond pas à la population française, avec 10% d'erreur. C'est un exemple d'application du test de Student.

Le graphique suivant illustre la notion de niveau de confiance en tant qu'intégrale de la fonction   pour  , représentée par l'aire de la zone en bleu.

 

En résumé, pour un échantillon   d’une loi normale d'espérance μ, l’intervalle de confiance de μ au niveau   est :

 ,

avec

 ,
 ,

et   le quantile d’ordre   de la loi de Student à k degrés de liberté.

Lois apparentéesModifier

  •   suit une loi de Cauchy :  .
  •   : la loi de Student converge en loi vers la loi normale.
  • Si   suit une loi de Student alors X2 suit une loi de Fisher :  
  •   a une loi de Student si   suit une loi inverse-χ² et   suit une loi normale.

Tableau des valeurs du quantileModifier

Le tableau suivant fournit les valeurs de certains quantiles de la loi de Student pour différents degrés de liberté k. Pour chaque valeur de  , le quantile donné est tel que la probabilité pour qu'une variable suivant une loi de Student à k degrés de liberté lui soit inférieur est de  . Ainsi, pour   et k = 7, si T suit une loi de Student à 7 degrés de liberté, on lit dans la table que  . Pour un intervalle de pari bilatéral à 95 %, on prendra le quantile à 97,5 % :  .

Notons également que si l'on note   le quantile d'ordre   de la loi de Student à k degrés de liberté alors on a  . Avec l'exemple précédent, on a   et  

Un tableur standard permet de calculer ces quantiles de manière plus précise, par exemple LOI.STUDENT.INVERSE(0,95;7) donne  . On obtient la même valeur avec la commande qt(0.95,7) du logiciel R. En général qt( , ) donne  .

1–α 75 % 80 % 85 % 90 % 95 % 97,5 % 99 % 99,5 % 99,75 % 99,9 % 99,95 %
k
1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 127,3 318,3 636,6
2 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,09 22,33 31,60
3 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,21 12,92
4 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,610
5 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,869
6 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959
7 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,408
8 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,041
9 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781
10 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587
11 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4,437
12 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 4,318
13 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 4,221
14 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,787 4,140
15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,073
16 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686 4,015
17 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 3,965
18 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 3,922
19 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 3,883
20 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,850
21 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 3,819
22 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3,792
23 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 3,767
24 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3,745
25 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,725
26 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3,707
27 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3,690
28 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3,674
29 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3,659
30 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,646
40 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307 3,551
50 0,679 0,849 1,047 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 2,937 3,261 3,496
60 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 3,232 3,460
80 0,678 0,846 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 2,887 3,195 3,416
100 0,677 0,845 1,042 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 2,871 3,174 3,390
120 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 2,860 3,160 3,373
0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090 3,291

Remarque : la dernière ligne du tableau ci-dessus correspond aux grandes valeurs de k. Il s’agit d’un cas limite pour lequel la loi de Student est équivalente à la loi normale centrée et réduite.

Voir aussiModifier

Notes et référencesModifier

  1. (en) Student, « The Probable Error of a Mean », Biometrika, vol. 6, no 1,‎ , p. 1–25 (DOI 10.2307/2331554, JSTOR 2331554)
  2. (en) Joan Fisher Box, « Gosset, Fisher, and the t Distribution », The American Statistician, vol. 35, no 2,‎ , p. 61-66 (DOI 10.1080/00031305.1981.10479309, JSTOR 2683142)
  3. (en) Ronald Aylmer Fisher, « Applications of "Student's" Distribution », Metron, vol. 5,‎ , p. 90-104 (lire en ligne, consulté le 5 mai 2018)

BibliographieModifier

Articles connexesModifier

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