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Page d'aide sur l'homonymie Pour le test statistique, voir Test t.

Loi t de Student
Image illustrative de l’article Loi de Student
Densité de probabilité

Image illustrative de l’article Loi de Student
Fonction de répartition

Paramètres k > 0 (degrés de liberté)
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition 2F1 est la fonction hypergéométrique
Espérance
Médiane 0
Mode 0
Variance
  • si k ≤ 1 : forme indéterminée
  • si 1 < k ≤ 2 : +∞
  • si 2 < k :
Asymétrie
Kurtosis normalisé
  • si k ≤ 2 : forme indéterminée
  • si 2 < k ≤ 4 : +∞
  • si 4 < k :

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Student est une loi de probabilité, faisant intervenir le quotient entre une variable suivant une loi normale centrée réduite et la racine carrée d'une variable distribuée suivant la loi du χ2.

Elle est notamment utilisée pour les tests de Student , la construction d'intervalle de confiance et en inférence bayésienne.

Sommaire

Définition et propriétésModifier

Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et soit U une variable indépendante de Z et distribuée suivant la loi du χ2 à k degrés de liberté. Par définition, la variable

 

suit une loi de Student à k degrés de liberté.

 , alors  , où les Xi sont des n variables aléatoires réelles i.i.d. de loi normale centrée-réduite.

La densité de T, notée fT, est donnée par :

 .

Γ est la fonction Gamma d'Euler.

La densité fT associée à la variable T est symétrique, centrée en 0 et en forme de cloche.

Son espérance ne peut pas être définie pour k = 1, et est nulle pour k > 1.

Sa variance est infinie pour k ≤ 1 et vaut k/k – 2 pour k > 2.

Comportement limiteModifier

Lorsque k est grand, la loi de Student peut être approchée par la loi normale centrée réduite. Une manière simple de le démontrer est d'utiliser le lemme de Scheffé.

HistoireModifier

Le calcul de la loi de Student a été publié en 1908 par William Gosset[1] pendant qu'il travaillait à la brasserie Guinness à Dublin. Il lui était interdit de publier sous son propre nom, c'est pour cette raison qu'il publia sous le pseudonyme de Student. Le test t et la théorie sont devenus célèbres grâce aux travaux de Ronald Fisher, qui a qualifié cette loi de « loi de Student »[2],[3].

Application : intervalle de confiance associé à l’espérance d’une variable de loi normale de variance inconnueModifier

Ce chapitre présente une méthode pour déterminer l'intervalle de confiance de l'estimateur de l’espérance μ d’une loi normale dont la variance σ2 est inconnue.

Théorème — L'intervalle de confiance de μ au seuil de confiance α est donné par :

 ,

avec

 , l'estimateur de l'espérance.
 , l'estimateur non biaisé de la variance.
  le quantile d’ordre γ de la loi de Student à k degrés de liberté (dont la définition exacte est donnée ci-dessus).

Remarque : ce résultat utile se démontre à partir de la propriété définissant la loi du χ2 en tant que somme des carrés de variables normales centrées et réduites indépendantes 2 à 2, mais il n’en est pas pour autant la conséquence directe : en particulier les variables x1x, ..., xnx ne sont pas indépendantes entre elles.

Pour n grand, la variance σ2/n de x tend vers 0, et la valeur d’une réalisation de x constitue ainsi une estimation de l’espérance μ, qui est également l’espérance]de la loi normale suivie par les variables x1, ..., xn. Néanmoins, seule la connaissance préalable de la variance σ2 de cette loi permet de caractériser un intervalle de confiance pour la variable xμ.

Par contre, il est possible de caractériser un intervalle de confiance rigoureux pour la variable suivante :

 

avec

 

En effet, moyennant quelques simplifications, la variable T0 peut se réécrire comme

 

avec

 .

la variable Z suit la loi normale centrée et réduite, et nous avons vu ci-dessus que la variable s suit la loi du χ2 à n – 1 degrés de liberté. De plus, il est possible de démontrer que Z et s sont indépendantes. Par définition, T0 suit donc la loi de Student à k = n – 1 degrés de liberté.

La distribution de la variable T0 est donc connue indépendamment de σ², et par conséquent les intervalles de confiance qui lui sont associés sont également connus. Ainsi, il est possible d’obtenir un intervalle de confiance pour μ à partir d’une réalisation des variables x1, …, xn, de laquelle on déduit des valeurs de x et S. La suite de ce chapitre détaille la procédure permettant la détermination de cet intervalle de confiance.

Pour une variable T suivant la loi de Student à k degrés de liberté, on définit tk
γ
comme la quantité telle que la probabilité d’obtenir T < tk
γ
soit égale à γ. Ceci revient à imposer que 1 – γ soit l'image de tk
γ
par la fonction de répartition de la loi de Student. La quantité tk
γ
est également appelé le quantile d’ordre 1 – γ de la loi de Student à k degrés de liberté (voir tableau des valeurs de tk
γ
ci-dessous).

Dans ce cadre, si tk
γ
> 0
, alors la probabilité d’obtenir tk
γ
< T0 < tk
γ
est égale à 1 – 2γ.

Or on a

 .

La probabilité d’obtenir   est elle aussi égale à 1 – 2γ. Le niveau de confiance α associé à cet intervalle est donc α = 1 – 2γ.

Le niveau de confiance α correspond à la probabilité que l’espérance μ de la loi normale se trouve à l’intérieur de l’intervalle de confiance. Par exemple pour α = 0,95, on a un niveau de confiance de 95 %, correspondant à γ = (1-α)/2 = 0,025.

La courbe ci-dessous illustre la notion de niveau de confiance en représentant celui-ci comme une intégrale (aire de la zone en bleu).  

Dans la courbe ci-dessus, les frontières entre la zone centrale et les deux zones latérales identiques correspondent à t = tk
γ
et t = –tk
γ
.

En résumé, l’intervalle de confiance de l’espérance μ d’une loi normale de variance quelconque inconnue peut être déterminé à partir des valeurs de n variables indépendantes x1, …, xn suivant toutes cette même loi. Pour un niveau de confiance donné α, cet intervalle est le suivant :

 ,

avec

 ,
 ,

et

tk
γ
le quantile d’ordre γ de la loi de Student à k degrés de liberté (dont la définition exacte est donnée ci-dessous).

Lois apparentéesModifier

  •   suit une loi de Cauchy :  .
  •   : la loi de Student converge en loi vers la loi normale.
  • Si   suit une loi de Student alors X2 suit une loi de Fisher :  
  •   a une loi de Student si   suit une loi inverse-χ² et   suit une loi normale.

Tableau des valeurs du quantileModifier

Le tableau suivant fournit les valeurs de certains quantiles de la loi de Student pour différents degrés de liberté k. Pour chaque valeur de α, le quantile donné est tel que la probabilité pour qu'une variable suivant une loi de Student à k degrés de liberté lui soit inférieur est de 1 – α. Ainsi, pour 1 – α = 0,95 et k = 7, si X suit une loi de Student à 7 degrés de liberté, on lit dans la table que   Pour un intervalle de pari bilatéral à 95 %, on prendra le quantile à 97,5 % :  

Notons également que si l'on note tk le quantile d'ordre α de la loi de Student à k degrés de liberté alors on a l'égalité suivante tk, α = –tk, 1–α. Avec l'exemple précédent, cela se traduit par :   est aussi  

1–α 75 % 80 % 85 % 90 % 95 % 97,5 % 99 % 99,5 % 99,75 % 99,9 % 99,95 %
k
1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 127,3 318,3 636,6
2 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,09 22,33 31,60
3 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,21 12,92
4 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,610
5 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,869
6 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959
7 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,408
8 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,041
9 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781
10 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587
11 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4,437
12 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 4,318
13 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 4,221
14 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,787 4,140
15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,073
16 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686 4,015
17 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 3,965
18 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 3,922
19 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 3,883
20 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,850
21 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 3,819
22 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3,792
23 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 3,767
24 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3,745
25 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,725
26 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3,707
27 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3,690
28 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3,674
29 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3,659
30 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,646
40 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307 3,551
50 0,679 0,849 1,047 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 2,937 3,261 3,496
60 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 3,232 3,460
80 0,678 0,846 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 2,887 3,195 3,416
100 0,677 0,845 1,042 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 2,871 3,174 3,390
120 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 2,860 3,160 3,373
0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090 3,291

Remarque : la dernière ligne du tableau ci-dessus correspond aux grandes valeurs de k. Il s’agit d’un cas limite pour lequel la loi de Student est équivalente à la loi normale centrée et réduite.

Voir aussiModifier

Notes et référencesModifier

  1. (en) Student, « The Probable Error of a Mean », Biometrika, vol. 6, no 1,‎ , p. 1–25 (DOI 10.2307/2331554, JSTOR 2331554)
  2. (en) Joan Fisher Box, « Gosset, Fisher, and the t Distribution », The American Statistician, vol. 35, no 2,‎ , p. 61-66 (DOI 10.1080/00031305.1981.10479309, JSTOR 2683142)
  3. (en) Ronald Aylmer Fisher, « Applications of "Student's" Distribution », Metron, vol. 5,‎ , p. 90-104 (lire en ligne, consulté le 5 mai 2018)

BibliographieModifier

Articles connexesModifier

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