Liste des petits groupes

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La liste mathématique suivante décrit les groupes finis (abéliens ou non abéliens) d'ordre inférieur ou égal à 20, à isomorphisme près.

Nombre de groupes pour chaque ordre de 1 à 20
Ordre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Nombre de groupes abéliens[1] 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 2 1 1 1 5 1 2 1 2
Nombre de groupes non abéliens[2] 0 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 9 0 3 0 3
Nombre total de groupes[3],[4] 1 1 1 2 1 2 1 5 2 2 1 5 1 2 1 14 1 5[5] 1 5[6]

Terminologie et notationsModifier

La notation G × H désigne le produit direct des deux groupes ; Gn désigne le produit direct de n copies du groupe G. GH désigne un produit semi-directH agit sur G ; quand l'action exacte de H sur G est omise, toutes les actions non triviales conduisent au même groupe produit (à isomorphisme près).

Les groupes simples d'ordre n < 60 sont les groupes cycliques Zn, avec n premier. Le signe d'égalité ("=") désigne l'isomorphisme.

Dans les graphes des cycles, l'élément neutre est représenté par un cercle noir. Le plus petit groupe que ce graphe ne caractérise pas à isomorphisme près est d'ordre 16.

La liste des sous-groupes ne mentionne que ceux distincts du groupe trivial et du groupe entier. Quand il existe plusieurs sous-groupes isomorphes, leur nombre est indiqué entre parenthèses.

Petits groupes abéliensModifier

Les groupes abéliens finis ont une classification simple : ils sont cycliques, ou produits directs de groupes cycliques.

Ordre Groupe Sous-groupes Propriétés Graphe des cycles
1 groupe trivial = Z1 = S1 = A2 - de nombreuses propriétés triviales
2 Z2 = S2 = D2 - simple, plus petit groupe non trivial
3 Z3 = A3 - simple
4 Z4 Z2 -
groupe de Klein = Z2 × Z2 = D4 Z2 (3) plus petit groupe non cyclique
5 Z5 - simple
6 Z6 = Z3 × Z2 Z3 , Z2  
7 Z7 - simple
8 Z8 Z4 , Z2 -
Z4 × Z2 Z22, Z4 (2), Z2 (3)  
Z23 Z22 (7) , Z2 (7) les éléments autres que l'identité correspondent aux points du plan de Fano (le plus petit plan projectif fini), les Z2 × Z2 sous-groupes aux droites de ce plan
9 Z9 Z3  
Z32 Z3 (4)  
10 Z10 = Z5 × Z2 Z5 , Z2  
11 Z11 - simple
12 Z12 = Z4 × Z3 Z6 , Z4 , Z3 , Z2  
Z6 × Z2 = Z3 × Z22 Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z22  
13 Z13 - simple
14 Z14 = Z7 × Z2 Z7 , Z2  
15 Z15 = Z5 × Z3 Z5 , Z3  
16 Z16 Z8 , Z4 , Z2  
Z24 Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15)  
Z4 × Z22 Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 ×Z2 (6) ce groupe a le même graphe des cycles que celui engendré par les matrices de Pauli (mais ne lui est pas isomorphe)
Z8 × Z2 Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2  
Z42 Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3)  
17 Z17 - simple

Petits groupes non abéliensModifier

On ne connait pas de classification complète des groupes non abéliens. Tout groupe simple non abélien est d'ordre pair (c'est le théorème de Feit-Thompson) ; le plus petit est le groupe A5, d'ordre 60. Le plus petit groupe non abélien d'ordre impair est le groupe de Frobenius F21, d'ordre 21.

Ordre Groupe Sous-groupes Propriétés Graphe des cycles
6 S3 = D6 Z3 , Z2 (3) plus petit groupe non abélien, groupe des symétries du triangle équilatéral
8 D8 Z4, Z22 (2) , Z2 (5) groupe des symétries du carré
groupe des quaternions = Q8 = Dic2 Z4 (3), Z2 plus petit groupe hamiltonien ; plus petit groupe admettant un groupe quotient non isomorphe à l'un de ses sous-groupes
10 D10 Z5 , Z2 (5) groupe des symétries du pentagone régulier
12 D12 = D6 × Z2 Z6 , D6 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7) groupe des symétries de l'hexagone régulier
A4 Z22 , Z3 (4) , Z2 (3) plus petit groupe n'admettant pas de sous-groupes de tous les ordres divisant l'ordre du groupe : pas de sous-groupe d'ordre 6 (voir le théorème de Lagrange et les théorèmes de Sylow)
Dic3 = Z3⋊Z4 Z2, Z3, Z4 (3), Z6
14 D14 Z7, Z2 (7) groupe des symétries de l'heptagone régulier
16[7] D16 Z8, D8 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9) groupe des symétries de l'octogone régulier
D8 × Z2 D8 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (11), Z4 (2), Z2 (11)
groupe de quaternions généralisé Q16 = Dic4  
Q8 × Z2   groupe hamiltonien
Le groupe quasidiédral (en) d'ordre 16  
Le groupe modulaire (en) d'ordre 16  
Z4⋊Z4  
Le groupe engendré par les matrices de Pauli   ce groupe a le même graphe des cycles que le groupe Z4 × Z22, mais ne lui est pas isomorphe
G4,4 = Z22⋊Z4  

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « List of small groups » (voir la liste des auteurs).
  1. Pour des ordres plus grands, voir la suite A000688 de l'OEIS.
  2. Pour des ordres plus grands, voir la suite  A060689 de l'OEIS.
  3. (en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups [détail des éditions], 1976, p. 52, aperçu sur Google Livres.
  4. Pour des ordres plus grands, voir la suite  A000001 de l'OEIS.
  5. (en) « Groups of order 18 », sur groupprops.
  6. (en) « Groups of order 20 », sur groupprops.
  7. (en) Marcel Wild, « The Groups of Order Sixteen Made Easy », Amer. Math. Monthly,‎ (lire en ligne)

Voir aussiModifier

Article connexeModifier

Liste des groupes finis simples

Liens externesModifier