Groupe hamiltonien (théorie des groupes)

groupe dans lequel tout sous-groupe est distingué

En théorie des groupes, un groupe de Dedekind est un groupe dans lequel tout sous-groupe est distingué. Tous les groupes abéliens sont bien sûr des groupes de Dedekind. Un groupe de Dedekind non-abélien est appelé groupe hamiltonien, d'après William Rowan Hamilton.

L'exemple le plus familier de groupe hamiltonien est le groupe des quaternions, noté Q. Il est d'ordre 8 et c'est le plus petit, car un groupe est hamiltonien si et seulement si c'est un produit direct de la forme G = Q × B × D, où B est la somme directe d'une famille (finie ou infinie) de groupes d'ordre 2 et D est un groupe abélien de torsion (fini ou infini) dont tous les éléments sont d'ordre impair[1].

Notes et référencesModifier

  1. Pour une démonstration, voir par exemple D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2e édition, Springer, 1996, p. 143-145.