Lemme de Kronecker

Le lemme de Kronecker est un résultat d'analyse concernant les séries de nombres réels.

Enoncé —  Si est le terme général d'une série convergente, et si est une suite croissante de réels positifs divergeant vers l'infini, alors :

Sa forme la plus connue, utilisée en particulier en probabilités dans une preuve classique de la loi des grands nombres, est la suivante :

Si la série de terme général converge alors tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

PreuveModifier

Notons   et  . Une transformation d'Abel donne :

 

Comme la suite   tend vers 0, le second terme tend vers 0, et le premier aussi d'après le lemme de Cesàro généralisé.