Fonction de Dirichlet

En mathématiques, la fonction de Dirichlet est la fonction indicatrice 1 de l'ensemble des rationnels ℚ, c'est-à-dire que 1(x) = 1 si x est un nombre rationnel et 1(x) = 0 si x n'est un pas un nombre rationnel (c'est-à-dire un nombre irrationnel).

Elle est nommée en l'honneur du mathématicien Peter Gustav Lejeune Dirichlet[1]. C'est un exemple de fonction pathologique qui fournit un contre-exemple à beaucoup de situations.

Propriétés topologiquesModifier

Ses restrictions à l'ensemble des nombres rationnels et à l'ensemble des nombres irrationnels sont constantes donc continues. La fonction de Dirichlet est donc un exemple archétypal du théorème de Blumberg.
  • La fonction de Dirichlet peut être construite comme la double limite ponctuelle d'une suite de fonctions continues :
 .
k et j sont des entiers. Cela montre que la fonction Dirichlet est une fonction de Baire de classe 2. Il ne peut pas s'agir d'une fonction de Baire de classe 1, car une telle fonction ne peut être discontinue que sur un ensemble maigre[2].

PériodicitéModifier

Pour tout nombre réel x et tout nombre rationnel strictement positif T, 1(x + T) = 1(x). La fonction de Dirichlet est donc un exemple de fonction périodique réelle qui n'est pas constante mais dont l'ensemble des périodes, l'ensemble des nombres rationnels, est une partie dense de ℝ.

Propriétés d'intégrationModifier

  • La fonction de Dirichlet est intégrable au sens de Lebesgue sur ℝ et son intégrale sur ℝ vaut 0 car elle est nulle sauf sur l'ensemble des nombres rationnels qui est négligeable (pour la mesure de Lebesgue).

Notes et référencesModifier

  1. Peter Gustav Lejeune Dirichlet, « Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 4,‎ , p. 157–169 (lire en ligne), et en particulier, p.169.
  2. William Dunham, The Calculus Gallery, Princeton University Press, , 197 p. (ISBN 0-691-09565-5)

Articles connexesModifier

Lien externeModifier

(en) Eric W. Weisstein, « Dirichlet Function », sur MathWorld