Intégrale d'Itō

L'intégrale d'Itô, appelée en l'honneur du mathématicien Kiyoshi Itô, est un des outils fondamentaux du calcul stochastique. Elle a d'importantes applications en mathématique financière et pour la résolution des équations différentielles stochastiques.

Tracé d'une trajectoire échantillon d'un processus de Wiener, ou mouvement brownien, B, ainsi que son intégrale d'Itô par rapport à lui-même. L'intégration par parties ou le lemme d'Itô montre que l'intégrale est égale à (B2 - t)/2.

Elle généralise de façon stochastique l'intégrale de Stieltjes. L'intégrande H et l'intégrateur sont tous deux des processus stochastiques :

$Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},$

où H est un processus carré-intégrable localement adapté au filtre (au sens probabiliste) généré par X, qui est un mouvement brownien ou, de façon plus générale une semi-martingale. Le résultat de l'intégration, Y, est aussi un processus stochastique.

Description

Il s'agit d'une intégrale définie de façon similaire à l'intégrale de Riemann comme limite d'une somme de Riemann. Si on se donne un processus de Wiener (ou mouvement brownien) $B:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} \,$ ainsi que $X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ un processus stochastique adapté à la filtration naturelle associée à $B_{t}$, alors l'intégrale d'Itô

$\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}:\Omega \to \mathbb {R}$

est définie par la limite en moyenne quadratique de

$\sum _{i=0}^{k-1}X_{t_{i}}\left(B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}}\right)$

lorsque le pas de la partition $0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T$ de $[0,T]$ tend vers 0.

Ces sommes, considérées comme des sommes de Riemann-Stieltjes pour chaque chemin du mouvement brownien donné, ne convergent pas en général ; la raison en est que le mouvement brownien n'est pas à variations bornées. L'usage de la convergence quadratique est le point essentiel de cette définition.

Propriétés

Avec les notations précédentes, le processus stochastique Y défini, pour t réel positif, par $Y_{t}=\int _{0}^{t}{X_{s}\mathrm {d} B_{s}}$, est une martingale. En particulier, son espérance est constante.

D'autre part, on a la propriété dite d'isométrie: $E(Y_{t}^{2})=\int _{0}^{t}{E(X_{s}^{2})\mathrm {d} s}$. Cette dernière intégrale est « classique », c'est-à-dire qu'elle est une intégrale au sens de Riemann par rapport à la variable s.

Bibliographie

• (en) Daniel Revuz et Marc Yor, Continuous martingales and Brownian motion, Berlin, Springer, 1999 (ISBN 3-540-57622-3)

Articles connexes

• Processus d'Itô
• Lemme d'Itô
• Calcul stochastique
• Intégrale de Stratonovich