Ouvrir le menu principal

Martingale (calcul stochastique)

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir martingale (homonymie).

Une martingale est un type de processus stochastique (c'est-à-dire aléatoire) dynamique, tel que son espérance mathématique à l'instant dépend de l'information disponible à une certaine date , dénotée  : (avec ). est un processus adapté à la filtration .

On parlera de sous-martingale si et de sur-martingale si .

DéfinitionsModifier

Processus stochastique

Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires, généralement indexée par   ou  .


Filtration

Une filtration est une suite croissante de tribus  , c'est-à-dire  .


Filtration naturelle

Soit   une suite de variables aléatoires. On dit que   définie par   est la filtration naturelle de la suite  .


Processus adapté

On dit que le processus   est adapté à la filtration   si   est  -mesurable pour tout entier n.


Martingale dans  

Soit   une filtration.

Soit   une suite de variables aléatoires.

On dit que   est une martingale par rapport à   si:


  1.   est adaptée à la filtration  .
  2.   est intégrable pour tout entier n.
  3.  .


Si   respecte les deux premières conditions, et   alors on l'appelle sous-martingale, et si  , alors on l'appelle sur-martingale.

On dit que   est une  -martingale.


Processus prévisible

Soit   une filtration.

Soit   une suite de variables aléatoires.

On dit que   est processus prévisible si   est  -mesurable et   est  -mesurable pour tout entier n.

Historique du nomModifier

Donnons ici une histoire anti-chronologique du nom (et non du concept) de martingale (issue de cette note[1])

En théorie des probabilités, la première apparition du mot martingale (et non du concept) se trouve dans la thèse[2] de Jean Ville (en 1939), au chapitre IV, paragraphe 2 dans l'expression : « système de jeu ou martingale ». Il précise que ce terme est emprunté du vocabulaire des joueurs. Notons que la dénomination anglaise (martingale) a été reprise de la française par Joseph Leo Doob, alors rapporteur de la thèse de Ville.

La martingale dans les jeux

Dans le langage des jeux, le terme martingale apparaît pour la première fois en 1611 dans le dictionnaire franco-anglais de Randle Cotgrave[3]. L'expression « à la martingale » est définie avec les termes : absurdly, foolishly, untowardly, grossely, rudely, in the homeliest manner (absurde, stupide, fâcheusement, grossièrement, brutalement, de manière laide). Dans le dictionnaire[4] de l'Abbé Antoine François Prévost de 1750, est proposée une stratégie qui consiste pour le joueur à doubler sa mise à chaque perte "pour se retirer avec un gain sûr, supposé qu'il gagne une fois". On peut penser que cette stratégie peut être considérée comme absurde. Selon une expression provençale[5], jouga a la martegalo signifie : jouer de manière incompréhensible, absurde. Notons que le terme martingale fait son apparition dans le dictionnaire de l'Académie française en 1762.

La martingale est absurde ?

Le terme martegalo se rapporte aux habitants de Martigues. La situation isolée de Martigues, au XVIe siècle, « a valu à ses habitants une réputation de naïveté proverbiale » ; on leur attribue une certaine « badauderie », de la « naïveté » ainsi que « des propos goguenards »[1].

PropriétésModifier

Propriété 1

Soit   une martingale.

On a  

Autrement dit, la suite   est constante.

Exemples de martingalesModifier

  • Soit   une variable aléatoire intégrable et  .

Alors   est une  -martingale.

  • Soit   une suite de variables aléatoires indépendantes et centrées.

La suite   définie par   est une  -martingale avec  [6].

  • Soit   une  -martingale, soit   un processus borné prévisible par rapport à  .

Alors   définie par   est une  -martingale.

  • Martingale de Doob

On étudie l'espérance conditionnelle d'une variable aléatoire X selon une suite de variables aléatoires   définies sur le même espace probabilisé et on pose :

 

La suite des   est appelée martingale de Doob.

  • Martingale de Wald

On définit la suite des   selon la fonction génératrice d'une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées  

 

La suite des   est appelée martingale de Wald.

  • Exemple de martingale à temps continu

On peut par exemple définir des martingales avec des mouvements browniens. Ceci a de nombreux liens avec l'intégration stochastique. On commence par définir la filtration comme étant la filtration naturelle d'un mouvement brownien standard  . Alors le processus stochastique   est une martingale. Ceci donne par ailleurs la décomposition de Doob de la sous-martingale  

Martingales et temps d'arrêtsModifier

Théorème 1

Soit   une  martingale et   un temps d'arrêt.

Alors   est une martingale (appelée "martingale arrêtée").


Corollaire

 .

BibliographieModifier

  • Processus stochastiques, Dominique Foata et Aimé Fuchs, Dunod, 2004, (ISBN 2 10 048850 3)

Notes et référencesModifier

  1. a et b [1]histoire des martingales, Roger Mansuy, Math. & Sci. hum. / Mathematical Social Sciences (43e année, n° 169, 2005(1), p. 105-113)
  2. Ville, J., Étude critique de la notion de collectif, Paris, Gauthier-Villars,
  3. A Dictionarie of the French and English Tongues A Dictionarie of the French and English Tongues, Randle Cotgrave, édition originale de 1611.
  4. [2] Manuel lexique ou dictionnaire portatif des mots François (1750).
  5. [3], voir Lou Trésor dou Félibrige ou Dictionnaire de provençal-français (1879), de Frédéric Mistral pour les expressions provençales.
  6.   désigne la tribu engendrée par les   donc l'ensemble des parties de