Fibré associé

En géométrie différentielle, un fibré associé est un fibré qui est induit par un -fibré principal et une action de groupe du groupe structurel sur un espace auxiliaire.

DéfinitionModifier

Soient :

  •  , un groupe de Lie ;
  •  , une variété différentielle ;
  •  , un  -fibré principal sur   ;
  •   l'action de groupe à droite de   sur   ;
  •   une action de groupe à gauche de   sur une variété différentielle  .

Définition : Le fibré associé à   pour   est le fibré    est défini par :

 

où la relation d'équivalence est :

 

Remarques :

  • Les fibres de   sont de fibre type  . Il est donc commun d'écrire le fibré   comme  .
  • Lorsque l'action de groupe   est une représentation de groupe   sur un espace vectoriel  , le fibré associé est un fibré vectoriel de fibre type  .
  • Lorsque   agit trivialement sur  , i.e.   pour tout  , le fibré associé est trivial, i.e.  .

Sections d'un fibré associéModifier

Donnons-nous un fibré vectoriel associé  . Les sections   du fibré   sont en bijection avec les fonctions   qui sont  -équivariantes :

 

Explicitement, la relation entre la section   et la fonction   est :

 

Ici,   dénote la classe d'équivalence pour la relation d'équivalence ci-haut.

La notion de section d'un fibré associé se généralise à la notion de forme différentielle à valeurs en un fibré associé. Ces dernières formes différentielles correspondent à des formes basiques sur  .

ExemplesModifier

Exemple 1 : Soit   le fibré des repères linéaires tangents à  . Point par point sur la variété  , les éléments du fibré des repères sont les isomorphismes linéaires allant de l'espace   à l'espace tangent de   :

 

Le fibré des repères   est un  -fibré principal sur  . Considérons la représentation canonique   du groupe structurel   sur l'espace vectoriel  . Alors, le fibré tangent de   est un fibré associé du fibré des repères :

 

De même, le fibré cotangent de   est un fibré associé pour la représentation duale de la représentation canonique :

 

Exemple 2 : Soit   le groupe des nombres complexes non nuls munis de la multiplication. Donnons-nous un  -fibré principal  . Considérons la représentation canonique de   sur   :

 

Le fibré associé à   via   est un fibré en droites complexes  . Un tel fibré vectoriel apparaît, par exemple, en quantification géométrique.

RéférencesModifier

  • 1963, S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry.
  • 1986, S. K. Donaldson & P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds.
  • 2006, José Figueroa-O’Farrill. Lectures on gauge theory.

Notes et référencesModifier