Fibré associé

En géométrie différentielle, un fibré associé est un fibré qui est induit par un $G$-fibré principal et une action du groupe structurel sur un espace auxiliaire.

Définition

Soient :

• $G$, un groupe de Lie ;
• $B$, une variété différentielle ;
• $\pi :P\to B$, un $G$-fibré principal sur $B$ ;
• $\Phi :G\to \mathrm {Diff} (P)$ l'action de groupe à droite de $G$ sur $P$ ;
• $\rho :G\to \mathrm {Diff} (M)$ une action de groupe à gauche de $G$ sur une variété différentielle $M$.

Définition

Le fibré associé à $P$ pour $\rho$ est le fibré $\mathrm {pr} :E\to B$ où $E$ est défini par :

$E:=P\times _{\rho }M:=(P\times M)/\sim$

où la relation d'équivalence est :

$(a,b)\sim (\Phi _{\lambda }(a),\rho (\lambda )^{-1}(b)),\qquad \forall a\in P,\;\forall b\in M,\;\forall \lambda \in G$

Remarques

• Les fibres de $E$ sont de fibre type $M$. Il est donc commun d'écrire le fibré $E$ comme $M\hookrightarrow E\to B$.
• Lorsque l'action de groupe $\rho$ est une représentation de groupe $\rho :G\to \mathrm {Aut} (V)$ sur un espace vectoriel $V$, le fibré associé est un fibré vectoriel de fibre type $V$.
• Lorsque $\rho$ agit trivialement sur $M$, i.e. $\rho (\lambda )=\mathrm {id} _{M}$ pour tout $\lambda \in G$, le fibré associé est trivial, i.e. $P\times _{\rho }M=B\times M$.

Sections d'un fibré associé

Donnons-nous un fibré vectoriel associé $E=P\times _{\rho }V$. Les sections $\psi \in \Gamma (E)$ du fibré $E$ sont en bijection avec les fonctions $\psi ^{\sharp }:P\to V$ qui sont $\rho$-équivariantes :

$(\Phi _{\lambda })^{*}\psi ^{\sharp }=\rho (\lambda )^{-1}\circ \psi ^{\sharp },\qquad \forall \lambda \in G$

Explicitement, la relation entre la section $\psi$ et la fonction $\psi ^{\sharp }$ est :

$\psi (\pi (a))=[a,\psi ^{\sharp }(a)],\qquad \forall a\in P$

Ici, $[\cdot ]$ dénote la classe d'équivalence pour la relation d'équivalence ci-haut.

La notion de section d'un fibré associé se généralise à la notion de forme différentielle à valeurs en un fibré associé. Ces dernières formes différentielles correspondent à des formes basiques sur $P$.

Exemples

• Exemple 1 :

Soit $\mathrm {Fr} (B)$ le fibré des repères linéaires tangents à $B$. Point par point sur la variété $B$, les éléments du fibré des repères sont les isomorphismes linéaires allant de l'espace $\mathbb {R} ^{n}$ à l'espace tangent de $B$ :

$\mathrm {Fr} _{x}(B):=\mathrm {Isom} (\mathbb {R} ^{n};T_{x}B)$

Le fibré des repères $\mathrm {Fr} (B)$ est un $\mathrm {GL} (n;\mathbb {R} )$-fibré principal sur $B$. Considérons la représentation canonique $\rho$ du groupe structurel $\mathrm {GL} (n;\mathbb {R} )$ sur l'espace vectoriel $\mathbb {R} ^{n}$. Alors, le fibré tangent de $B$ est un fibré associé du fibré des repères :

$TB=\mathrm {Fr} (B)\times _{\rho }\mathbb {R} ^{n}$

De même, le fibré cotangent de $B$ est un fibré associé pour la représentation duale de la représentation canonique :

$T^{*}B=\mathrm {Fr} (B)\times _{\rho ^{*}}(\mathbb {R} ^{n})^{*}$

• Exemple 2 :

Soit $\mathbb {C} ^{\times }:=(\mathbb {C} \backslash \{0\},\cdot )$ le groupe des nombres complexes non nuls munis de la multiplication. Donnons-nous un $\mathbb {C} ^{\times }$-fibré principal $P\to B$. Considérons la représentation canonique de $\mathbb {C} ^{\times }$ sur $\mathbb {C}$ :

$\rho (\lambda )(z):=\lambda z,\qquad \forall \lambda \in \mathbb {C} ^{\times },\;\forall z\in \mathbb {C}$

Le fibré associé à $P$ via $\rho$ est un fibré en droites complexes $\mathbb {C} \hookrightarrow E\to B$. Un tel fibré vectoriel apparaît, par exemple, en quantification géométrique.

Bibliographie

• (en) S. K. Donaldson et P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, 1986
• (en) José Figueroa-O’Farrill, Lectures on Gauge Theory, 2006
• (en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, 1963