Formule sommatoire d'Abel

En mathématiques, la formule sommatoire d'Abel, nommée d'après son auteur Niels Henrik Abel, est une formule utilisée intensivement en théorie analytique des nombres. Elle sert à calculer des séries numériques.

Énoncé

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Soient   une suite de nombres réels ou complexes et   une fonction réelle ou complexe de classe C1.

On pose

 

Alors, pour tout réel x,

 .

Démonstration

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Il s'agit d'une intégration par parties dans une intégrale de Stieltjes, mais ce cas particulier peut se démontrer directement.

La fonction A est nulle sur ]–∞, 1[ donc si x < 1, l'équation se résume à 0 = 0.

Supposons désormais x ≥ 1 et notons N ≥ 1 sa partie entière (donc A(x) = A(N)). La formule de sommation par parties donne :

 

Exemples

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Série des entiers

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En utilisant astucieusement la formule, on peut calculer des sommes et retrouver des résultats usuels. Par exemple, pour   et  , en prenant x = N entier, on trouve (pour tout réel x ≥ 1, ou même x > 0) :  

On reconnait ici la formule des nombres triangulaires.

Constante d'Euler-Mascheroni

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Pour   et  , en notant   la partie entière de x, on trouve (pour tout réel x ≥ 1, ou même x > 0) :

 

dont on déduit une expression intégrale de la constante d'Euler-Mascheroni :

 .

Séries de Dirichlet

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Pour toute série de Dirichlet classique

 ,

la formule sommatoire d'Abel, appliquée à  , montre que pour tout nombre complexe s de partie réelle strictement supérieure à 0 et à l'abscisse de convergence de la série[1] :

 .

Ci-dessous, deux exemples. On en trouvera un autre dans l'article « Fonction de von Mangoldt ».

Fonction zêta de Riemann

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Pour   on obtient :

 .

Cette formule est valable pour Re(s) > 1. On en déduit notamment le théorème de Dirichlet selon lequel la fonction zêta de Riemann ζ(s) admet un pôle simple de résidu 1 en s = 1.

Inverse de la fonction zêta de Riemann

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Pour   (la fonction de Möbius) :

 .

Cette formule est valable pour Re(s) > 1. Le symbole M désigne la fonction de Mertens, définie par

 .
  1. C'est un cas particulier d'une propriété des séries de Dirichlet générales qui se démontre de la même façon.