Fonction bêta de Dirichlet

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En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C'est la fonction L de Dirichlet associée au caractère de Dirichlet alterné de période 4.

Elle est définie, pour tout complexe $s$ de partie réelle strictement positive, par la série :

\beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}

,

ou par l'intégrale

\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}\mathrm {e} ^{x}}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}\,dx

.

Autrement, on peut définir la fonction bêta de Dirichlet par la fonction zêta de Hurwitz, qui est valable pour tous nombres complexes :

\beta (s)=4^{-s}\left(\zeta (s,1/4)-\zeta (s,3/4)\right)

.

Ou par une autre définition équivalente, du point de vue de la fonction transcendante de Lerch :

\beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{\frac {1}{2}}\right)

,

qui est aussi valable pour tous nombres complexes.

Cette fonction se prolonge en une fonction méromorphe sur le plan complexe.

Équation fonctionnelle

L'équation fonctionnelle suivante permet d'étendre la fonction β à la partie gauche du plan complexe Re(s) < 1.

\beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\beta (1-s)

où $Γ$ est la fonction gamma d'Euler.

On peut noter les valeurs particulières suivantes :

$\beta (0)={\frac {1}{2}}$ ,
$\beta (1)={\frac {\pi }{4}}$ ^[1],
$\beta (2)=$ la constante de Catalan,
$\beta (3)={\frac {\pi ^{3}}{32}}$ ,
$\beta (4)={\frac {\psi _{3}\left(1/4\right)-8\pi ^{4}}{768}}$ , où $\psi _{3}$ est la fonction polygamma d'indice 3,
$\beta (5)={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}$ ,
$\beta (7)={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}$ .

Plus généralement, les valeurs prises par la fonction β aux entiers positifs impairs sont des multiples rationnels de puissances de π.

$\beta (2k+1)={\frac {E_{2k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1}$ ,
où les $E_{2k}$ sont des nombres d'Euler. Et les valeurs de β aux entiers négatifs pairs sont données aussi par les nombres d'Euler avec :
$\beta (-k)={{E_{k}} \over 2}$ .

Par contre, on ne connaît pas grand chose sur les valeurs aux entiers positifs pairs.

On a également :

\forall n\in \mathbb {N} ,\beta (n)=\operatorname {Ti} _{n}(1)

où $Ti n$ désigne la fonction arc tangente intégral d'ordre n.

De plus, par une intégrale de Malmsten, on peut montrer que^[2]:

\beta '(1)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}\left(\gamma -\ln \pi \right)+\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dirichlet beta function » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Lennart Råde et Bertil Westergren, Mathematics Handbook for Science and Engineering, 2004, 562 p. (ISBN 978-3-540-21141-9, lire en ligne), p. 423.
↑ (en) I. V. Blagouchine, « Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results », Ramanujan J., vol. 35, n^o 1,‎ 2014, p. 21–110 (DOI 10.1007/s11139-013-9528-5, lire en ligne)

(en) J. Spanier et K. B. Oldham, An Atlas of Functions, Hemisphere, New York, 1987
(en) Michael A. Idowu, « Fundamental relations between the Dirichlet beta function, euler numbers, and Riemann zeta function », 2012 (arXiv 1210.5559)