Espace contractile

En mathématiques, un espace topologique est dit contractile s'il est homotopiquement équivalent à un point. Tous ses groupes d'homotopie sont donc triviaux, ainsi que ses groupes d'homologie de degré > 0.

Exemples et contre-exemplesModifier

Tout espace vectoriel normé (ou même : tout espace vectoriel topologique sur ) est contractile, à commencer par la droite réelle et le plan complexe.

Plus généralement, toute partie étoilée d'un tel espace (en particulier : tout convexe non vide, comme un intervalle réel ou un disque) est clairement contractile[1].

 
Le « cercle polonais ».

Le cône de tout espace topologique est contractile[1].

La n-sphère Sn n'est pas contractile bien que, pour n ≥ 2, elle soit simplement connexe.

En fait, une variété compacte de dimension n>0 n'est jamais contractile. Voir l'appendice de [2], où ce résultat est appelé "théorème fondamental de la topologie différentielle."

La sphère unité d'un espace de Hilbert H de dimension infinie est contractile (et même[3] difféomorphe à H). Plus généralement, dans tout espace vectoriel normé de dimension infinie, la sphère unité est contractile[4].

Un CW-complexe dont tous les groupes d'homotopie sont triviaux est contractile. Il en va donc de même pour une variété M de classe C. De plus, dans ce cas, l'application identité de M est homotope à une application constante par une homotopie non seulement continue mais de classe C. En effet, dès que deux applications lisses entre variétés lisses sont continûment homotopes, elles sont C-homotopes[5].

Le « cercle polonais », obtenu en ajoutant à la courbe sinus fermée du topologue un arc joignant (0, –1) à (1, sin 1), n'est pas contractile, bien que tous ses groupes d'homotopie soient triviaux.

Il existe des espaces qui, bien que contractiles c'est-à-dire se rétractant par déformation sur (un sous-espace réduit à) un point, ne se rétractent pas fortement par déformation sur un point[6].

Définitions équivalentesModifier

Soit X un espace topologique non vide. Les énoncés suivants sont équivalents[7] :

  • X est contractile ;
  • l'application identité de X est « homotopiquement nulle », c'est-à-dire homotope à une application constante ;
  • X se rétracte par déformation sur un point ;
  • le cône de X se rétracte par déformation sur X ;
  • toute fonction continue à valeurs dans X est homotope à une application constante ;
  • deux fonctions continues quelconques à valeurs dans X (définies sur un même espace) sont toujours homotopes.

Notes et référencesModifier

  1. a et b H. Cartan, Cours de C3, Algèbre et géométrie : Groupe fondamental, revêtements, Orsay, 1968-1969 (lire en ligne), p. 8 : Exemples d'espaces contractiles.
  2. Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, EDP Sciences,
  3. (en) Andrzej Granas et James Dugundji, Fixed Point Theory, Springer, , 690 p. (ISBN 978-0-387-00173-9, lire en ligne), p. 82.
  4. (en) J. Dugundji, « An extension of Tietze's theorem », Pacific J. Math., vol. 1,‎ , p. 353-367 (lire en ligne), Corollary 6.4.
  5. (en) Gerd Rudolph et Matthias Schmidt, Differential Geometry and Mathematical Physics : Part I. Manifolds, Lie Groups and Hamiltonian Systems, Springer, (lire en ligne), p. 188.
  6. (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology (lire en ligne), exercice 6(c), commenté dans (en) « Why doesn't the “zig-zag” comb deformation retract onto a point, even though it's contractible? », sur Math StackExchange.
  7. Ces équivalences sont indiquées, sous une forme à peine différente, dans Cartan 1968-1969, p. 7.

Article connexeModifier

Lemme de Poincaré