Ensemble Gδ

En mathématiques et, en particulier, en topologie, un ensemble Gδ (lire « G delta ») est une intersection dénombrable d'ensembles ouverts.

La notation introduite par Felix Hausdorff vient de l'allemand, le G désignant un ouvert (Gebiet) et le δ désignant une intersection (Durchschnitt)[1]. La notation Gδ est équivalente à celle de utilisée dans la hiérarchie de Borel.

PropriétésModifier

ExemplesModifier

  • L'ensemble   des irrationnels est un ensemble Gδ dans l'ensemble   des réels muni de sa topologie usuelle. En effet, l'ensemble des irrationnels peut s'écrire comme l'intersection dénombrable des ouverts  , où   est un rationnel. En revanche, l'ensemble   des rationnels n'est pas un ensemble Gδ dans l'ensemble   des réels muni de sa topologie usuelle. En effet, si c'était le cas, tous les ouverts dont   est l'intersection seraient denses dans   (car ils contiennent tous   qui est dense dans  ).   est lui-même intersection dénombrable d'ouverts denses, donc l'intersection vide   serait aussi intersection dénombrable d'ouverts denses. On obtiendrait une contradiction avec la propriété de Baire de  .
  • Dans un espace métrisable, chaque ensemble fermé est un ensemble Gδ[2].

Voir aussiModifier

RéférencesModifier

  1. a et b (en) Elias M. Stein et Rami Shakarchi, Real Analysis : Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, Princeton University Press, , 424 p. (ISBN 978-1-4008-3556-0, lire en ligne), p. 23
  2. (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Berlin, Heidelberg, Springer Verlag, (ISBN 978-3-540-29587-7, lire en ligne), p. 138