Droite de Michael

La droite de Michael, nommée d'après le mathématicien américain Ernest Michael (en), est un espace topologique particulier. Ce fut le premier exemple d'espace normal dont le produit par un certain espace métrisable n'est pas normal[1].

DéfinitionModifier

La droite de Michael[2] M = (ℝ, τM) est la droite réelle, munie de la topologie τM[3] dont chaque ouvert est l'union d'un ouvert usuel de ℝ et d'un ensemble quelconque d'irrationnels.

PropriétésModifier

  • Ce n'est donc pas un « espace de Michael », c'est-à-dire un espace de Lindelöf dont le produit par l'espace des irrationnels n'est pas normal (l'existence de tels espaces est une question de théorie des ensembles[9]).

Notes et référencesModifier

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Michael-Gerade » (voir la liste des auteurs).
  1. a et b (en) E. A. Michael, « The product of a normal space and a metric space need not be normal », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 69,‎ , p. 375-376 (lire en ligne).
  2. (en) Jun-iti Nagata, Modern General Topology, Elsevier, , 3e éd., 521 p. (ISBN 978-0-08-093379-5, lire en ligne), p. 196-197.
  3. (de) Johann Cigler (de) et Hans-Christian Reichel (de), Topologie : Eine Grundvorlesung, Mannheim, Bibliographisches Institut, coll. « BI-Hochschultaschenbücher » (no 121), (ISBN 978-3-411-00121-7), Aufgabe 38.
  4. Cigler et Reichel 1978, p. 136.
  5. a b et c Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Example 71: Discrete Irrational Extension of R.
  6. a b et c (en) « Michael Line Basics », sur Dan Ma's Topology Blog, .
  7. Steen et Seebach, Example 85: Michael's Product Topology.
  8. (en) « A Question About The Rational Numbers », sur Dan Ma's Topology Blog, .
  9. (en) L. B. Lawrence, « The influence of a small cardinal on the product of a Lindelöf space on the irrationals », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 110,‎ , p. 535-542.

Lien externeModifier

(en) « Michael Line », sur Dan Ma's Topology Blog,