Condition de chaîne dénombrable

En mathématiques, la condition de chaîne dénombrable est une notion concernant les ensembles ordonnés.

Définition

Dans un ensemble ordonné E, on appelle antichaîne forte (en) tout ensemble d'éléments de E deux à deux incompatibles, ou encore, toute partie de E dont aucune paire n'est minorée. C'est donc une partie A telle que $\forall x,y\in A\quad \forall z\in E\quad \left[(z\leq x{\text{ et }}z\leq y)\Rightarrow x=y\right].$

On dit que E vérifie la condition de chaîne dénombrable lorsque toute antichaîne forte de E est au plus dénombrable.

En toute logique, on devrait dire « condition d'antichaîne dénombrable » pour éviter une certaine confusion avec de véritables notions^{[réf. nécessaire]} de chaînes comme noethérien ou artinien mais, comme souvent, on préfère garder^{[réf. nécessaire]} l'appellation historique.

On peut généraliser. Pour un cardinal κ donné, on dit que E vérifie la κ-condition de chaîne lorsque toute antichaîne forte de E est de cardinal strictement inférieur à κ. Ainsi, la condition de chaîne dénombrable correspond à la ℵ₁-condition de chaîne.

Espaces topologiques

On dit qu'un espace topologique E vérifie la condition de chaîne dénombrable lorsque l'ensemble de ses ouverts non vides, ordonné par l'inclusion, vérifie la condition de chaîne dénombrable comme défini ci-dessus. Cela revient à dire que toute famille d'ouverts non vides de E deux à deux disjoints est au plus dénombrable. On dit alors que sa cellularité est au plus dénombrable.

Par exemple, la cellularité d'un espace discret est égale à son cardinal.

Si un espace est séparable alors il vérifie la condition de chaîne dénombrable.

La réciproque est vraie pour un espace métrisable mais fausse en général : par exemple {0, 1}^κ, comme tout produit d'espaces séparables, vérifie la condition de chaîne dénombrable mais il n'est séparable que si κ ≤ ℭ.

Articles connexes

• Antichaîne
• Axiome de Martin
• Fonctions cardinales en topologie
• Problème de Souslin