Discussion:Théorème du minimax de von Neumann

Relecture du 11/02 (en diagonale)

Bonjour, pour commencer, je suis parfaitement ignare en théorie des jeux, programmation linéaire, théorie de la décision ; globalement dans les mathématiques sous-jacentes à cet article. L'article a éveillé ma curiosité, mais je ne clique pas pour le moment sur les liens proposés, pour garder une certaine fraîcheur lors de cette première relecture.

Je vois en première approche un gros point noir : on parle beaucoup de critiques du modèle de von Neumann, mais il n'est jamais dit ce qu'on prétend modéliser ! J'imagine que ça ne se limite pas à pierre-ciseaux-feuille ? Plus précisément, après la première section, j'ai un modèle qui me semble raisonnable pour ce dernier jeu, et je suis content. Puis arrive la section Critique du modèle sous-jacent, qui démarre en fanfare avec « Le modèle économique utilisé ne peut se contenter d'un concept d'utilité ordinale. » : outre que le concept d'utilité ordinale ex abrupto est rude, je ne sais absolument pas quelles situations on a tenté de modéliser ; et l'article peut toujours raconter ce qu'il veut, mais pour le seul exemple concret proposé, je continue à penser que ça s'applique bien. De même pour la section Comprendre la rationalité qui commence par « Dès lors que le modèle de von Neumann prétend définir quelle est la « meilleure » stratégie à adopter dans un jeu à somme nulle » : je crois comprendre la partie calcul matriciel, mais pour parler de modèle, il faudrait une situation à modéliser ? Laquelle ?

En vrac :

• il a dû y avoir une interversion de section malheureuse : la phrase sur la programmation linéaire dans la section Postérité se laisse difficilement comprendre avant la section Démonstrations.
• des notations bizarres dans le début de la section retour aux exemples. L'inégalité présentée est obscure.
• la dernière partie (avec Robinson) dans Comprendre la rationalité me semble se distinguer par le caractère naturel de la problématique exposée. Est-ce un biais personnel de ma part ? En l'état actuel des choses, je pense qu'elle mériterait de mieux ressortir.

Bilan : c'est un article avec beaucoup de bonnes pistes, mais il reste du travail pour éclaircir les enjeux de cette modélisation. Salle (d) 11 février 2009 à 12:15 (CET)

OK merci. Je suis moi-même ignare en théorie des jeux, ce qui se sent : je suis arrivé à travailler sur cet article à partir de mon intérêt pour les articles de maths, et je reste prudent sur les questions d'économie ou pire de philosophie où je recolle des sources mal digérées.

L'absence de commentaires sur ce qu'on prétend modéliser, c'est un parti pris conscient. Dans mon esprit, cela aurait sa place dans l'article Jeu à somme nulle et non ici. Ce qui n'interdirait pas de citer ici un ou deux exemples, sans faire dans le systématique. Mais -bien que les deux sujets soient évidemment suffisamment imbriqués pour que la séparation ne puisse se faire strictement- l'article « théorème du minimax » a pour vocation de discuter la solution d'un problème, la descriptin de celui-ci ayant sa place dans Jeu à somme nulle. Je suis un peu incohérent avec ce parti pris en ayant intégré ici la section intitulée « Critiques du modèle sous-jacent » et on pourrait envisager de rebondir sur ton objection « à l'envers » en quelque sorte en supprimant cette section et en allant la copier-coller dans Jeu à somme nulle. Ce qui justifie quand même son installation ici, c'est qu'elle critique un peu plus que le modèle matriciel : elle met en question l'utilisation des stratégies mixtes, ce qui est à cheval entre la définition du modèle et la solution du problème, donc a un peu sa place dans les deux articles.

Sur tes remarques à points:

• Pour l'ordre des sections, ton observation est judicieuse. J'avais choisi de reléguer « Démonstrations » à la fin pour ne pas trop faire peur aux non-mathématiciens. Il y a deux façons de réparer : remonter « Démonstrations » plus haut ou élaguer la phrase sur la programmation linéaire dans « Postérité » de ce qu'elle a d'incompréhensible. Je crois que la deuxième solution est la meilleure mais attend d'autres avis éventuels (car l'ordre des sections est assez arbitraire et je ne serais pas surpris de recevoir des suggestions à son sujet, donc attendons pour ne pas faire trop d'aller-retours).
• Pour Retour aux exemples je vais relire attentivement la section, merci du commentaire je pense que j'arriverai à clarifier ça sans trop de mal. Ajout un quart d'heure plus tard : j'ai ralenti la vérification de l'inégalité, je suppose que c'est moins obscur maintenant, en revanche je ne vois pas ce qui te gêne dans les notations (à part la correspondance X -> p et Y -> q mais c'est destiné à rappeler que ce sont des trucs qui s'interprètent comme des probabilités - est-ce ça le problème ?)
• Pour le théorème de Robinson, ça peut être un biais conjoint de nos deux parts : tu comprends mieux quand ça parle de maths, et je rédige plus clairement quand ça parle de maths. Déplacer ailleurs cet argument ? Je ne suis pas farouchement contre, mais il me semblait jouer là où il est un rôle, même si je dois concéder être limite TI sur ce point (je n'ai pas vu ce théorème de Robinson cité par des philosophes dans mes lectures cursives pour préparer l'article). Je ne change rien par inertie, ne sachant trop ce qui est bien, mais ne m'accroche pas mordicus à ma façon de faire. Touriste ✉ 11 février 2009 à 12:50 (CET)

Je réponds maintenant à tes remarques sur l'utilité.

Pour ce qui est que ça commence abrupt, je ne suis pas convaincu (sans connaître l'économie) : avoir une idée de ce que veut dire utilité et une vague idée de ce qu'il y a derrière « ordinal » et « cardinal » ça me semble du même niveau de culture générale économique que d'avoir une idée de ce que veut dire matrice et une vague idée de la façon dont ça se multiplie en culture générale mathématique. Donc on peut raisonnablement s'adresser à des lecteurs qui le savent, avec wikilien pour ceux qui ont besoin de s'informer.

Sur le fait que tu ne comprennes pas en quoi ça s'applique dans le cas de pierre-feuille-ciseaux, je crois en effet (sous toutes réserves) que le jeu est suffisamment dégénéré pour que ça ne s'applique pas. Bien que ça ne serve pas à l'article, mais parce que le griffonner m'a aidé à me mettre les idées en place voici un exemple qui explique le problème (je ne pense pas qu'il soit utile de le reporter dans l'article, mais pourquoi pas...) Touriste ✉ 11 février 2009 à 13:51 (CET)

Exemple justifiant la nécessité d'une théorie cardinale de l'utilité

Voici une variante à peine modifiée de pierre-feuille-ciseaux :

	Xavier joue « pierre »	Xavier joue « feuille »	Xavier joue « ciseaux »
Yvette joue « pierre »	0	2	-1
Yvette joue « feuille »	-2	0	1
Yvette joue « ciseaux »	1	-1	0

Il est facile de vérifier que l'équilibre de Nash correspond à $X_{0}=Y_{0}={\begin{pmatrix}{1 \over 4}{1 \over 4}{1 \over 2}\end{pmatrix}}$. Si les deux joueurs suivent cette recommandation, les gains de Xavier ont la répartion suivante :

• 1 fois sur 8, il gagne 2
• 3 fois sur 16, il gagne 1
• 3 fois sur 8, le résultat est nul
• 3 fois sur 16, il perd 1
• 1 fois sur 8, il perd 2

(si je ne me suis pas trompé - en tous cas les résultats justes doivent ressembler à ça).

Supposons que Xavier, plutôt que l'équilibre de Nash, choisisse de jouer toujours « ciseaux », ce que la théorie lui déconseille fortement. Si Yvette s'engouffre dans la brêche, la répartition de ses gains est alors d'une biblique simplicité :

• dans 100 % des parties, il perd 1

Si Yvette choisit une autre stratégie (du genre garder l'équilibre de Nash) le résultat pour Xavier est autre, mais a toujours la particularité remarquable de ne _jamais_ contenir une perte de 2.

En théorie de l'utilité cardinale, une perte de 2 est deux fois plus désagréable qu'une perte de 1 (enfin je schématise, la structure sur l'espace des utilités est affine et non linéaire, mais glissons). Il est justifié de comparer les espérances mathématiques et de conclure que la première répartition est plus agréable que la première.

Mais si on a une théorie ordinale, on sait seulement que "perdre deux" est plus désagréable que "perdre 1" mais on ne sait pas dans quelles proportions. On ne peut pas construire de barycentres. Sauf si je suis à côté de la plaque, je ne vois aucune façon de déterminer lequel des deux résultats est plus agréable pour Xavier.

Espérant avoir clarifié ce mystère. Touriste ✉ 11 février 2009 à 14:18 (CET)

OK, d'accord. J'avais cru à la lecture de l'article à quelque chose de plus tordu : c'est-à-dire qu'on pouvait dire qu'une perte de deux est deux fois plus désagréable qu'une perte d'un ; mais qu'en revanche on ne pouvait quantifier les comparaisons dès que des espérances entrent en jeu.

Par ailleurs, après relecture à tête reposée, je suis toujours très circonspect sur pas mal de choses dans la section « Comprendre la rationalité » : je crois que je comprends bien le premier et les deux derniers paragraphes ; seulement, le deuxième paragraphe est une suite de questions, avec au fond une seule affirmation : le résultat sur les jeux à somme nulle ne doit pas s'appliquer aux jeux à somme non nulle. La fonction des questions me semble obscure, il n'est pas clair qu'on y réponde après ; d'ailleurs le troisième paragraphe commence par « la réponse à la première question est non », alors que la première question du paragraphe précédent était « en quel sens l'est-il ? » (j'imagine qu'on fait référence à la première question de la section, mais bon...).

Ce troisième paragraphe ne me plaît guère : j'ai l'impression qu'on y énonce des banalités, en se protégeant derrière Binmore et Davis ; comment affirment-ils ça ? Y a-t-il un protocole expérimental, une étude sérieuse ? Ou bien est-ce juste une section conversation de bistro de leurs bouquins ? Je trouve que la manière dont le paragraphe est rédigé donne l'impression que sont exposées des idées profondes qui ont fait l'objet d'études fouillées : si c'est le cas, il faudrait au moins donner une idée du protocole expérimental ; si en revanche, ce sont juste des banalités, on pourrait tourner la rédaction autrement.

Un peu la même chose sur le quatrième paragraphe, dont le climax semble être : « Pour Risse, cette argumentation paraît bien faible » ; à mon tour de trouver que c'est un peu faible pour constituer le point culminant d'un paragraphe.

Ceci dit, il s'agit d'un article agréable à lire, et qui méritera très certainement largement son label. Salle (d) 18 février 2009 à 12:02 (CET)

Là tu vises bien, comme auteur de l'article je suis aussi conscient que cette section est la plus faible (enfin celle sur les expériences n'est pas terrible non plus). Je suis incompétent en philosophie ; j'ai appelé à l'aide le Projet philo sur leur café [1], mais il n'est pas surfréquenté et je ne m'attends pas à des cohortes de petites mains pour venir améliorer la section.

L'énumération de problématiques n'est pas adroite, mais ne me semble pas non plus complètement décalée par rapport aux idées qui apparaissent ensuite : demander "en quel sens" c'est rationnel, c'est quand même renvoyer à l'heuristique de von Neumann-Morgenstern rapportée par Risse, et c'est potentiellement renvoyer à d'autres argumentations compliquées que je n'ai pas évoquées faute de les piger assez, voir notamment un bouquin que je signale dans ma première réponse à El Caro, section « Yvette est contente d'être sûre de perdre » plus bas dans cette page. La question sur le modèle néo-classique, le théorème de Julia Robinson y apporte une bribe de réponse. La dernière question, c'est surtout un procédé d'écriture pas pro du tout pour insister sur le fait qu'il ne faut pas tout mélanger et que le dilemme du prisonnier est complètement hors sujet ici.

Le paragraphe sourcé par Binmore + Davis ne contient en effet pas des choses très profondes. Il se résume au fond en « Les spécialistes de la théorie des jeux^[Qui ?] s'accordent à dire que la stratégie du maximin est la bonne, avec quelques réserves » en se gardant du piège du style évasif. En même temps, Binmore est un peu au-dessus du niveau "pilier de Bistro" (cf. en:Kenneth Binmore) donc même s'il ne détaille pas pourquoi il pense ce qu'il pense, il doit bien le savoir et ce n'est pas forcément superficiel. Je te donne raison sur la maladresse du style du paragraphe mais n'essaie pas moi-même de le réparer, ce serait poser des rustines sur un truc de toutes façons puant l'amateurisme. Tu peux essayer si ça t'amuse de me suppléer, mais rien ne remplace l'intervention d'un véritable expert, qu'on risque malheureusement de devoir attendre quelques siècles (les philosophes de la théorie des jeux ne hantent pas spécialement la Wikipédia en français).

Même chose pour le paragraphe sur Risse : il n'est pas terrible mais je ne sais pas vraiment faire mieux. Tu peux essayer de le retoucher à défaut qu'on ait un expert pour le faire.

Merci en tous cas pour ta relecture précise -j'ai quand même su directement intégrer ta remarque sur la confusion de mon renvoi à une « question » mal pointée, ça c'était facile et c'est réparé. Touriste ✉ 18 février 2009 à 13:20 (CET)

Critique de jl

A la suite d'une demande au thé, après les aides aussi nombreuses que subtiles et justifiées, je me sens obligé de rendre la pareille à notre ami Touriste. Eh, Eh, je vais enfin pouvoir sournoisement me venger. J'annonce immédiatement la couleur. Sauf argments bien pesés, je risque fort de présenter cet article en BA. En cette saison, les arguments contre annoncées au thé, me semblent infondés.

Introduction : Je dois dire qu'elle ne me convainc pas. Elle ne me semble pas remplir le cahier des charges officiel.

Modèle économique sous-jacent : La modélisation du jeu pierre-feuille-ciseau est limpide. Elle est de plus nécessaire. Mais, ce n'est que peu aimable de décrire ce jeu alors que rien ne laisse supposer à ce stade le moindre rapport avec le théorème de l'article ou un quelconque modèle économique. Je sais bien qu'ils sont reliés et que, dans le fond, cet exemple est justifié, mais la sécheresse dans les explications ne me semble pas justifiée.

Points-selles dans les matrices de gain : L'exemple est limpide, mais aucune synthèse ne décrit une stratégie optimale, correspondant pour Xavier à que puis-je faire de mieux, si Yvette agit au mieux. Dire que Yvette agit au mieux revient à dire qu'elle suppose que Xavier raisonne comme indiqué ici.

Stratégies mixtes : Pourquoi diable s'intéresser aux stratégies mixtes ? à partir du moment où je dispose d'une stratégie pure, je ne vois pas pourquoi je me priverais. Délire de mathématiciens ou nécessité incontournable pour jouer finement ? A ma connaissance, il existe deux réponses à cela : comment modéliser un jeu réitératif (une stratégie pure est dominée) et même dans le cas d'un jeu à non réitératif une stratégie pure équilibre de Nash n'existe pas nécessairement. Tu dis que Nash a généralisé le cas en 1949 ? Ma grand-mère prétend qu'elle le tenait de Pascal qui le lui avait déjà raconté quand il l'a converti.

Signification intuitive du maximin : Voilà qui répond habilement à une perfide objection, mais pourquoi après les stratégies mixtes ?

Retour aux exemples : Le paragraphe est fort clair, mais il pourrait se trouver avant les stratégies mixtes, ou à la rigueur juste après. Si on joue plusieurs fois et que tu choisis une stratégie pure, tu vas prendre une raclée, c'est assez intuitif non ?

Critiques du modèle sous-jacent : Quel modèle économique ? Chez Renault, le grand jeux, à l'époque c'était la sortie des modèles, il y a autant de stratégies pures que de modèles et le concurrent principal c'était Peugeot. « Un acteur économique étant généralement (mais pas nécessairement) averse au risque, il y a toutes chances que cette loterie ne l'intéresse pas », ouh c'est bien philosophique et en conséquence bien difficile à sourcer. Ne pourrait-on pas plutôt dire que les économistes modélise un acteur comme quelqu'un d'averse au risque ?

Postérité du théorème : J'ai l'impression que l'oubli des militaires, particulièrement durant la deuxième guerre mondiale est gênante (source ? heu ... Ma grand-mère qui en parlait à Roosevelt, ça va encore ?)

Voilà quelques remarques en vrac. Dans le fond, pas de quoi fouetter un chat (et surtout pas ma grand-mère, qui n'y est pour rien). Bonne continuation !Jean-Luc W (d) 13 février 2009 à 13:57 (CET)

Réponses par Touriste

Waow merci pour la relecture dont je tire beaucoup. Je suis d'accord avec toi pour pas mal de choses faisons le bilan.

• Introduction Ah tu as remarqué qu'elle était trop courte ? J'espérais pourtant que ça passerait inaperçu. C'est moitié de la flemme, moitié de la revendication. Je n'aime pas bien les consignes de WP:Résumé introductif alors j'ai fait ce qui me paraissait bien plutôt que mon devoir. Mais je sais que je ne couperai pas à faire mon devoir, je m'y mettrai tout à l'heure.

En fait, j'approuve plutôt ces consignes, d'après mes études statistiques nombreux sont les visiteurs qui ne lisent que l'introduction. Certains ne poursuivent que si elle est bien faite. Elle est aussi utile pour le référencement par les moteurs de recherche.

• Modèle économique sous-jacent Tu recoupes très exactement Salle, vous devez avoir raison (d'autant que Salle m'avait déjà convaincu). La solution que j'ai en tête est de rajouter en premier paragraphe de l'exposition du modèle la phrase : « Quelques exemples de jeux ainsi modélisables sont présentés à l'article Jeu à somme nulle »... et de les écrire ces exemples, malgré mes réticences à écrire de l'économie où je ne me sens pas à l'aise. Que pensez-vous de cette façon de répondre à votre remarque, Salle et toi ? Si vous n'objectez pas, je ferai (peut-être) ce week-end.

• Signification intuitive du maximin Entièrement d'accord, le plan est bancal, ça s'explique facilement (la sous-section en question est un ajout tardif), je réordonnerai c'est pas difficile.

• Critiques du modèle économique Pas sûr que j'ai bien compris ton histoire de voitures, je réponds seulement à la partie sur l'aversion au risque : tu as tout à fait d'accord, c'est à rectifier et ce sera fait.

Après il y a des trucs où je ne sais pas si je suis d'accord ou toi... parce que je ne suis pas sûr de bien te comprendre :

• Points-selles dans les matrices de gain Mais sans doute est-ce la même critique qu'à « Signification intuitive du maximin » celle qu'un réordonnancement de paragraphe suffira j'espère à rendre obsolète.

T'as tout compris

• Stratégies mixtes et Retour aux exemples (surtout le premier). Tu insistes sur la différence entre jeu joué une fois et jeu itéré. Tu as peut-être noté que toute la section 2 reste dans un flou savamment entretenu ; je n'évoque ce problème que dans la partie "philosophique" parce qu'il me semble recouper la distinction probabilité fréquentiste/probabilité bayésienne et autres trucs que je ne maîtrise pas et n'évoque prudemment pas. « Même dans le cas d'un jeu à non réitératif une stratégie pure équilibre de Nash n'existe pas nécessairement » -> oui je crois quand même le dire avec assez d'insistance ça. « comment modéliser un jeu réitératif (une stratégie pure est dominée) » -> soit tu te trompes, soit je ne te comprends pas. S'il y a un point-selle il faut jouer la stratégie pure, même en jeu réitératif. L'allusion à Pascal -> ta grand-mère devrait me communiquer une source, parce que le rapport de Pascal avec la théorie des jeux est évoqué vaguement dans certains bouquins que j'ai croisés, et ce que j'en ai retenu c'est que c'est assez ténu et tiré par les cheveux, ça commence vraiment avec Waldegrave (du moins pour les jeux synchrones). Si ta grand-mère a des choses précises à dire avec du Pascal dedans, qu'elle n'hésite pas à ouvrir un compte et les ajouter à l'article, mais moi je ne vois vraiment pas ce que ça pourrait être.

J'ai lu l'article trop rapidement.

Un truc où je ne suis pas d'accord :

• Postérité du théorème Le mot "militaire" apparaît une fois dans l'article, et quand j'écrirai des exemples il y en aura bien sûr un qui sera de ce domaine. Je suis allé consulter le Poundstone après t'avoir lu. J'y lis, p. 51 : « Selon certains commentateurs, la théorie des jeux est le Kriegspiel du XXe siècle, un miroir qui renvoie aux stratégies militaires le reflet de leurs idées préconçues. La théorie des jeux fut effectivement tenue pour une sorte d'oracle stratégique, en particulier pendant une vingtaine d'années après le bombardement d'Hiroshima. » Donc une relation chose militaire <-> théorie des jeux, je sais sourcer. Je sais aussi sourcer (même bouquin) une relation chose militaire <-> John von Neumann. Parler de choses militaires dans les deux articles en question serait nécessaire indéniablement. En revanche le rapport entre les modèles militaires (hormis ceux simplifiés destinés aux livres niveau undergraduate) et le théorème du minimax ne me paraît pas résulter de ce que j'ai consulté. Les militaires aiment bien, par des bombardements massifs et réciproques, jouer des jeux à somme méchamment négative et les évoquer ici me semblerait plutôt justement corroborer l'idée populaire « partout où y'a de la théorie des jeux, y'a des villes japonaises annihilées » qui me semble fausse ou du moins trop schématique.

Hum, j'admets que l'hypothèse somme nulle concorde mal avec l'idéal viril des armées. Je maintiens néanmoins que déclarer que généralement les acteurs économiques sont risques averses me semble plus polémique que dire que la modélisation que l'on fait de l'économie suppose en général que les acteurs sont risques averses.

Pour la présentation en BA, attends un peu de toutes façons (je préfère faire moi-même si ça ne te gêne pas) ; je compte d'abord demander une relecture des paragraphes où ils sont en théorie compétents par les projets Économie et Philosophie, pas sûr que quelqu'un passera mais on peut toujours essayer. Parce qu'après, sur les votes BA comme je viens de le voir avec admiration sur « Nombres premiers » y'a des votants qui lisent avec une vitesse digne d'admiration, mais qui sont peu diserts en suggestions pour améliorer l'article. Touriste ✉ 13 février 2009 à 15:13 (CET)

Voilà qui est sagesse, et je ne peux que t'approuver. Les commentaires en italiques sont de : Jean-Luc W (d) 13 février 2009 à 16:02 (CET)

J'ai fait tout ce à quoi je m'étais engagé SAUF la rédaction de deux exemples, un économique et un militaire, sur l'article Jeu à somme nulle, ce qui semble le seul truc restant demandé par un relecteur et avec quoi j'ai été d'accord. On approche de la fin - enfin je vais de ce pas appeler des relecteurs d'autres projets mais eux, je leur demanderai sans doute de se salir les mains s'ils ont des trucs à modifier dans les paragraphes où j'aurai excédé mon niveau d'incompétence. Touriste ✉ 14 février 2009 à 19:48 (CET)

Yvette est contente d'être sûre de perdre

Dans "Points-selles dans les matrices de gain", premier exemple. Il me semble bizarre de dire qu'Yvette est confortée dans ce choix, alors que ce choix lui assure de perdre...

Le fait que les joueurs ne semblent, dans cet exemple, regarder que le "pire des cas" fait-il partie des hypothèses du théorème ? (on pourrait s'attendre à ce qu'ils regardent plutôt la somme des gains par ligne ou colonne). Si cette hypothèse est importante (et c'est le cas si j'ai bien compris la suite de l'article), il faudrait sans doute la remonter dans le premier exemple. C'est peut-être un choix éditorial, mais qui peut perturber un lecteur qui, comme moi, découvre le sujet. ---- El Caro ^bla 14 février 2009 à 21:37 (CET)

Très bonne question... Justifier pourquoi exactement on fait comme ça, ce n'est pas bien facile, et il faudrait sans doute consulter plus de sources que je n'ai pu en trouver. Très peu sont critiques sur la justification que cette heuristique est vraiment la bonne.

Plusieurs éléments de réponse se trouvent plus bas dans l'article. Une citation de Calvino pas très loin, puis surtout les discussions dans le chapitre "Comprendre la rationalité". J'ai d'ailleurs renoncé à évoquer les théorisations que je trouvais un peu fumées de la façon dont je présente le raisonnement d'Yvette ou Xavier (à base d'itérations d'antcipations) qui sont trop philosophiques pour ma compétence, voir ce bouquin, p. 51 et sq. notamment. (je ne le connais que par Google Books et ne l'ai donc pas lu -juste vu rapidement des pages intéressantes mais bien ardues). J'ai finalement fait comme beaucoup de sources : présenté juste le "raisonnement informel" qui marche et basta. J'ai pas mal réfléchi et ne vois pas comment améliorer. Si quand tu auras avancé dans ta lecture et connaîtras les deux ou trois pièces de puzzle qui s'encastrent dans celle que tu connais déjà tu as une idée de reconstruction du plan qui les rapproche les unes des autres, je suis preneur.

Et merci au passage pour l'aspect typographique/stylistique de ta relecture, tout est judicieux c'est super. Touriste ✉ 14 février 2009 à 22:45 (CET)

Que cette heuristique soit la bonne, après tout, n'est pas le problème pour le théorème : on pose des hypothèses et on étudie les conséquences. Ça peut être discuté plus loin dans l'article. D'ailleurs, l'intro dit très bien que la pertinence du modèle sous-jacent au théorème a été discutée. Mais il me semble qu'il faudrait ajouter, dès l'intro et avec rappel dans le premier exemple, l'hypothèse "éviter le pire des cas". À ajouter dans le deuxième paragraphe : "Une autre hypothèse est que la stratégie de chaque joueur est de minimiser les risques." ?

Et, tant qu'on y est, comme tu as très clairement expliqué ce qu'est un équilibre de Nash, il serait dommage de ne pas donner cette définition dans l'introduction.

En bref, il faudrait faire miroiter plus tôt au lecteur les pépites que contient ce très bel article. Comme quoi, on peut écrire un article accessible (et, me semble-t-il, rigoureux) sur des maths contemporaines. Bravo.

PS : tu comptes mettre des images ? ---- El Caro ^bla 15 février 2009 à 09:20 (CET)

J'ai mis quelques images, finalement. Si elles ne sont pas pertinentes, n'hésite pas à les enlever (pas évident d'illustrer les polémiques). ---- El Caro ^bla 15 février 2009 à 11:53 (CET)

Touriste est un austère, il considère parfois que l'image est source de déconcentration et de démagogie. Personnellement, le brin d'humour qu'ajoute El-Caro me semble de bon goût. Et comme la partie qui demande le plus de concentration est la démonstration (présente sur un autre article), je plaide pour le maintien (à moins que Touriste ne s'y oppose). Comme argument, je citerais l'illustration sur le bombardement de Londres, qui met immédiatement en lumière l'argument de Touriste expliquant que l'hypothèse du jeu à somme nulle reste essentiellement à démontrer pour l'usage militaire du théorème, argument qui m'avait échappé avant que Touriste ne m'en parle.Jean-Luc W (d) 15 février 2009 à 17:09 (CET)

Non non pas tant une question d'austérité qu'une question que ça ne me passionnait pas de les rechercher, et que je me doutais que ça titillerait les relecteurs (je m'attendais plutôt à ceux qui verraient le truc au moment du passage en BA).

Puisqu'on parle des illustrations, je réponds juste sur ce point :

OK bien sûr pour en ajouter.

En revanche je vais en enlever quelques unes et me justifie ici.

Je trouve qu'il y a beaucoup de têtes de gens fameux : cinq avec von Neumann, Nash, Borel, Aumann, Robinson. Je n'aime pas que l'iconographie soit trop déséquilibrée en le sens de "montrer des savants" - c'est plus facile à photographier que des minimax ou des unités d'utilité, mais ce n'est pas au centre du sujet de l'article. Je vais avec certitude enlever Nash, qui n'est essentiellement présent ici que dans l'expression « équilibre de Nash » (même si son théorème est occasionnellement mentionné) et donc hors sujet selon moi. Je garde bien sûr von Neumann et Borel. Après beaucoup d'hésitations je suggère de garder Aumann et de jeter Robinson, parce que je tiens à ne pas dépasser trois et que je trouve plus important de conserver une parité mathématiciens-économistes que hommes-femmes. Tout ça est très subjectif et contestable, repassez derrière moi si vous n'êtes pas d'accord sans même avoir besoin de vous justifier ici, c'est vous qui aurez raison.

J'approuve tout à fait les footballeux, les mains et le rat, ça aère l'article pour pas cher (vous voyez bien que je ne suis pas "austère".

J'enlève en revanche sans hésiter la justice : elle est allégorique de l'institution judiciaire alors que la théorie de la justice de Rawls est si je ne m'abuse une théorie de la justice sociale donc couvre une acception beaucoup plus large du terme.

Enfin j'enlève la photo de guerre qui plaisait pourtant à Jean-Luc d'abord parce que je considère comme important de ne pas céder à la culture populaire ("von Neumann = docteur Folamour") - les applications militaires ne sont pas si centrales et la photo corrobore implicitement une erreur commune, l'auteur principal de l'article Nombre d'or comprendra certainement ce que je veux dire. Et surtout la légende illustre une réponse que j'i faite à JLW sur cette page de discussions (et qui est d'accès très facile) et non l'affirmation plus complexe de Hardin (sur la pertinence de l'espérance mathématique en théorie de la décision militaire) qui devrait ne pas être comprise par une partie des lecteurs - ne leur laissons pas croire qu'ils ont compris en fournissant une version parasite plus simple et illustrée d'un paragraphe un peu plus subtil. Touriste ✉ 15 février 2009 à 17:34 (CET)

OK pour la plupart des modifications. Disons que les portraits "humanisent" l'article (et il est vrai que ce sont les photos les plus "faciles" à mettre). J'aurais bien vu aussi une illustration reliée à l'économie, mais quoi ? Sinon, y a-t-il d'autres applications du théorème qui soient illustrables ? Pour la taille des images, par contre, je ne vois pas en quoi elle devrait être proportionnelle à l'importance du personnage. Sinon, il faut remettre toutes les photos (et d'autres) avec des thumb|15px ;-) ou alors tu n'aimes pas les barbus qui rigolent ? ---- El Caro ^bla 15 février 2009 à 18:27 (CET)

Pas à l'importance dans l'absolu, que je me garderais bien de juger, mais à celle dans l'article. Bof ce n'était qu'une idée à moi, que je n'avais même pas jugé utile d'exposer en page de discussions. Regrossis le pauvre Aumann si tu veux, c'est quand même bien qu'il ne soit pas plus haut que le paragraphe qui est consacré à ses dits, et comme ça dépend de la taille de l'écran, ma solution me semblait prudente à cet égard. Touriste ✉ 15 février 2009 à 19:33 (CET)

Bien entendu, je parlais aussi de l'importance vis-à-vis de l'article. ---- El Caro ^bla 15 février 2009 à 20:16 (CET)

Encore quelques éléments de réponse

J'avais reporté le traitement de quelques remarques judicieuses et donc demandant du boulot :

• « on pourrait s'attendre à ce qu'ils regardent plutôt la somme des gains par ligne ou colonne » -> j'y ai un peu répondu en alourdissant l'article (de plus de 900 octets, j'espère que ça les vaut - faut quand même faire aussi gaffe à la lourdeur) ;

• « il faudrait ajouter, dès l'intro et avec rappel dans le premier exemple, l'hypothèse "éviter le pire des cas". À ajouter dans le deuxième paragraphe : "Une autre hypothèse est que la stratégie de chaque joueur est de minimiser les risques."  » -> pas d'accord là, le fait que la minimisation des risques est la meilleure stratégie est ou prétend être (cf. la remarque critique de Risse) une _conclusion_ pas une hypothèse. Si tu te dis pas convaincu, comme ne l'est pas Risse ou comme je ne le suis moi non plus pas tout à fait, c'est que c'est la conclusion d'un raisonnement heuristique et non d'une démonstration mathématique et que c'est un peu déstabilisant. Mais ce n'est définitivement pas une hypothèse.

• « donner [la définition d'équilibre de Nash] dans l'introduction » -> mmouais c'est le plus embêtant des trois, celui qui m'a fait reporter de trois jours ma réponse. J'essaie ici d'allonger la deuxième phrase de l'introduction en suivant ta suggestion. Elle devient :

Il assure que, pour un jeu non-coopératif synchrone à information complète[Note 1] opposant deux joueurs, à nombre fini de stratégies pures et à somme nulle, il existe au moins un équilibre de Nash, c'est-à-dire une situation où aucun des deux joueurs, à supposer que l'autre ne modifie pas sa façon de jouer, ne peut lui-même modifier sa stratégie sans y être perdant.

Ce que je réussis à pondre même en réessayant plusieurs fois est très très lourd, et me semble incompréhensible à qui n'a pas lu préalablement une exposition progressive du modèle. Je préfère donc la version sans développement d'« équilibre de Nash » et ne change rien dans l'article proprement dit. Cela étant, si quelqu'un pense que l'allongement est un progrès, il peut intégrer la suggestion ci-dessus dans l'article, mais si possible en en revoyant la rédaction parce que ce que j'ai produit à l'instant n'est pas beau du tout. Touriste ✉ 18 février 2009 à 09:38 (CET)

Bilan des relectures

De mon point de vue, les remarques que j'avais faites en première lecture n'ont plus leurs raison d'être, elles ont toutes été corrigées, sauf peut-être celle de sourcer le résultat de Nash.

Deux questions me viennent à l'esprit, restes de vieux cours de mathématiques appliquées à l'économie. La première est celle d'une méthode effective de construction d'un équilibre (je pense aux processus de tâtonnement walrasien, mais je n'ai en fait aucune idée de l'existence réelle d'une telle approche). La deuxième idée est celle de l'unicité, qui n'existe pas et qui mérite peut-être une petite explication.

De toute manière, je me demande, dans la mesure où les deux idées exprimées ont un intérêt, ce qui n'est pas une certitude à mes yeux, si l'emplacement le plus adéquat pour les insérer n'est pas l'article sur les démonstrations, que je trouve encore un peu indigent. Par exemple on ne trouve aucun commentaire sur le lemme de Kakutani ou autres méthodes permettant les généralisations à un hilbert ou à des jeux à somme non nulles. Jean-Luc W (d) 16 février 2009 à 13:28 (CET)

Réponses par Touriste

Sourcer le résultat de Nash ? Il n'est cité qu'avec énoncé flou, avec renvoi à l'article équilibre de Nash. Pour moi, c'est à cet article de donner une source précise (encore que, tu le remarques, il n'y a pas dans cet article de source à l'énoncé du théorème principal ; j'ai considéré qu'il était suffisamment répandu pour qu'on s'en passe (Paris est en France), et j'aurais un peu envie de dire qu'il en est de même du théorème de Nash). Sur quelle phrase de l'article penses-tu qu'une référence serait agréable ?

Tâtonnement walrasien : je ne connaissais pas mais ça semble hors sujet ; les liens entre la théorie de l'équilibre général (que j'ignore complètement) et la théorie des jeux semblent exister, mais être non évidents, et probablement conduire à des modèles nettement plus compliqués que celui dont on parle ici. Le calcul effectif de l'équilibre de von Neumann peut se faire par résolution d'un problème de programmation linéaire, et ça c'est dit dans l'article. Oui, cela risque d'être un peu hors sujet.

Unicité : je n'ai rien vu de remarquable à dire dans les sources que j'ai visitées. Un lecteur raisonnablement mathématicien saura se rendre compte que l'exemple de $A=0$ est flagrant ; souligner la non-unicité me semblerait du remplissage. Si tu vois des choses plus précises à en dire (structure de l'ensemble des équilibres de Nash par exempl) je n'ai fichtrement rien contre, mais je ne les connais pas, ces énoncés manquants. Convaincu

L'article sur les démonstrations est une ébauche, qui assume l'être. Pour les généralisations je les connais mal ; celles à des jeux de somme non nulle me semblent hors sujet (voir aux articles sur les travaux de Nash, c'est autre chose - il faut un lien vers équilibre de Nash et pas plus). Les généralisations plus techniques, je ne les connais tout simplement pas ; le lien rouge théorèmes du minimax figurant deux fois dans l'article, et que je n'ai pas l'intention de bleuir de sitôt, ne répond-il pas à ta question ?

Bon, tu me rappelles à mon devoir, je vais un peu me remettre à relire Équation :-) Touriste ✉ 16 février 2009 à 13:58 (CET)

Prend ton temps et merci. Jean-Luc W (d) 16 février 2009 à 14:19 (CET)

Le rôle d'Emile Borel

La formulation précédente du rôle d'Emile Borel ne satisfaisait pas tout le monde. La nouvelle version se veut succincte, car cette question peut être perçue comme un peu mineur par bon nombre de nos lecteurs. Elle se veut aussi purement factuelle. Ni WP ni surtout moi, n'avons d'autorité quelconque pour trancher dans une querelle dont les protagonistes portent des noms comme von Neumann, Fréchet ou Borel.

N'ayant pas étudié précisément les sources (Certaines m'ont été lu par Touriste. J'en ai parcouru d'autres, œuvres de professeurs enseignant la théorie des jeux mais qui ne sont en aucun cas des spécialistes de l'histoire des sciences). Que le contributeur plus avisé se sente absolument libre de bonifier la version actuellement en ligne. Jean-Luc W (d) 22 février 2009 à 09:38 (CET)

théorème de math ? ou pollution par les 'économistes'

les étudiants en économie : je vais vous créer une section spéciale dans l'article, parce que vous le polluez complètement avec vos commentaires parfaitement non rigoureux qui n'ont rien à faire au milieu d'un article de maths. je vais mettre cette section bien à la fin, voire je vais la mettre en boite dépliante cachée par défaut.

Acx01b (discuter) 7 septembre 2015 à 05:44 (CEST)

L'exemple du penalty au football

Il me semble que l'exemple du penalty au football n'est pas pertinent. L'énoncé du théorème dit que le nombre de stratégies pures est fini. Or le tireur de penalty a le choix entre une infinité de directions de tir de la gauche du but à la droite du but, du haut et du bas en passant par la hauteur médiane. C'est pour cela que les bons tireurs ont une stratégie gagnante qui s'appelle la Panenka, stratégie qui gagne à presque tous les coups contre le gardien, montrant que le jeu n'est pas à somme nulle. --Pierre de Lyon (discuter) 21 janvier 2016 à 12:04 (CET)