Discussion:Suite récurrente linéaire

Ordre des paragraphes

pour l'instant, la résolution dans les complexes précède celle dans les réels. Cela ne semble pas une progression très logique mais l'intervention de fonction trigo dans le cas du discriminant négatif ne peut s'expliquer que par un passage dans les complexes. Si quelqu'un à une autre idée de présentation? HB 30 août 2006 à 15:41 (CEST)

remplacer "dans les complexes", "dans les réels" par "si l'équation a deux solutions" "si l'équation a une racine double " et "si l'équation n'a pas de solution" ? A la fin du premier paragraphe on signale que c'est valable qu'on soit sur R ou sur C, idem à la fin du second. Et au début du 3e on dit que ca ne peut arriver que sur R et qu'on exploite le 1.

maintenant ça te paraîtra peut être artificiel de laisser le "où on est" dans le flou ? Peps 30 août 2006 à 21:29 (CEST)

Bonne idée --HB 31 août 2006 à 15:50 (CEST)

Où c'est qu'on parle des suites récurrentes linéaires à valeurs vectorielles ??? L'article serait à résumer dans un paragraphe suites récurrentes linéaires numériques ... Ektoplastor, 21:44 (rapide comme un renard !)

Argh, toujours pareil: les articles que je crée sont de niveau bac, bac + deux !! Je reconnais que cela pose problème pour les mettre en perspective avec le supérieur. L'article serait à renommer suite numérique récurrente linéaire, mais les titres à rallonge ça n'est pas très top. L'autre solution serait de conserver le titre et de compléter l'intro en précisant que la suite peut être à valeurs vectorielles puis créer un paragraphe à part: suite à valeurs vectorielles. En effet, il est fort à parier que les gens cherchant à consulter un article sur les suites à récurrence linéaire ne sont pas des bac + 5 et que , comme moi, ils envisagent des suites numériques à valeurs dans R et éventuellement dans C, d'où la progression récurrence linéaire double (bac - bac + un) , récurrence linéaire d'ordre n (bac + deux), suites à valeurs vectorielles que VOUS pourriez créer (hors compétence). --HB 31 août 2006 à 15:50 (CEST)

ça me paraît honnête (cf même décision pour les équations différentielles linéaires où il y a une théorie générale, et un corpus "de base" suffisamment important pour mériter un article). En plus pour les suites à valeurs vectorielles il y a beaucoup à dire. Quant à écrire... pas maintenant, c'est la rentrée ! Peps 31 août 2006 à 18:13 (CEST)

Les suites récurrentes linéaires d’ordre 2 sont entièrement connues

Que veut dire la phrase : « Les suites récurrentes linéaires d’ordre 2 sont entièrement connues » ? Pierre de Lyon (d) 28 janvier 2009 à 18:55 (CET)

euh... que c'est facile de trouver leur terme général ? Je sais c'est mal dit mais je ne sais pas comment le dire autrement. HB (d) 28 janvier 2009 à 19:32 (CET)

Je propose la formulation suivante:

• « On peut exprimer le terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 sans avoir recours à la récurrence, c'est-à-dire à l'aide des deux premiers termes, de quelques valeurs constantes, des opérations élémentaires de l'arithmétique (addition, multiplication, exponentielle) et des fonctions sinus et cosinus. »

Pierre de Lyon (d) 29 janvier 2009 à 09:14 (CET)

oui, cela fait plus sérieux. HB (d) 29 janvier 2009 à 09:44 (CET)

J'ai donc modifié l'article en ce sens. Pierre de Lyon (d) 29 janvier 2009 à 16:59 (CET)

Série génératrice

Pour rendre moins frustrant ce renvoi, il faudrait détailler ici, comme sur :en. Anne (d) 4 mai 2013 à 22:27 (CEST)

Faute dans l'article recherche d'une base

Il me semble qu'il y a une faute dans ce paragraphe. En effet, on nous dit à un moment que la famille des (n^{j}*r_{i}^{n}) est libre, ce qui est faux. En effet, si on prend r_{i}=0, a_{i}=2 et j=1, on se rend compte que la suite nulle "appartient" à cette famille. J'imagine qu'il faut en réalité faire une discussion de cas selon la nullité ou non de r_{i}.

Tout à fait ; j'ai mis une note en ce sens. Mais c'est tout l'article qui souffre d'un manque de sources et d'un style plus proche d'un cours que d'un article encyclopédique.--Dfeldmann (discuter) 2 août 2014 à 16:57 (CEST)

Dfeldmann (d · c · b) : oui et non, dans le RI, le coefficient a(0) est supposé non nul, donc 0 ne peut être racine du polynôme caractéristique ? Sinon, que faudrait-il faire pour rendre l'article encyclopédique ? Asram (discuter) 2 août 2014 à 17:34 (CEST)

Ah oui, c'est dans le RI. Bon, c'est typique du problème : le RI, c'est un résumé, pas une intro. Et tout ce texte est présenté comme un cours progressif. Idéal pour Wikiversité (sauf qu'il manque les exemples) désastreux pour un article encyclopédique : ou est l'historique de la question ? Qui a découvert ces résultats ? Quels liens avec les puissances de matrices, la diagonalisation des matrices compagnons, des résultats plus avancés permettant au lecteur curieux d'aller plus loin? Un énorme boulot dont je n'ai certes ni le courage, ni les compétences pour me charger, mais qui demanderait avant tout de s'appuyer sur des sources--Dfeldmann (discuter) 2 août 2014 à 19:15 (CEST)

Cet article est ancien (2005) écrit dans la jeunesse de wikipédia quand, en mathématique, vérifiabilité n'était pas toujours synonyme de sources. La partie sur les suites linéaires d'ordre 1 ou 2 se trouve dans de nombreux livres de niveau bac (il fut un temps où la récurrence linéaire d'ordre 2 était étudiée en terminale) La partie sur la récurrence d'ordre n a été écrite sous le contrôle du chapitre XI.4 pp351-352 du tome I (algèbre) du Lelong-Ferrand Arnaudiès, Bordas, Paris 1977. Il n'était pas conçu comme un cours progressif car les démonstrations y sont juste esquissées mais effectivement comme une présentation progressive d'une notion avec ses résultats exploitables. Il est certain qu'avec les ambitions de WP 9 ans plus tard, cela peut ne pas sembler suffisant. Cependant, je vois trois objections principales

• l'absence de littérature disponible (enfin pour moi) sur l'historique de la notion, sa position dans le corpus mathématique, les résultats plus avancés (en fait- très honnêtement - le cas de la dimension n correspondait déjà pour moi au cas avancé - chacun a le niveau qu'il peut...)
• le risque de noyer la question de telle sorte que les informations techniques soient masquées par des considérations annexes épistémologiques. C'est d'ailleurs le reproche qui est fait souvent à notre article déterminant (mathématiques) où les résultats exploitables sont renvoyés dans d'autres articles difficilement trouvables comme calcul du déterminant d'une matrice
• mettre la barre si haut décourage les bonnes volontés (dont d'ailleurs la tienne), je te rejoins donc pour dire que c'est un « énorme boulot dont je n'ai certes ni le courage, ni les compétences pour me charger ».

Mieux vaut donc un article désastreux (sic) que pas d'article du tout (il reçoit toutefois quelques 2000 visites mensuelle en période scolaire ce qui veut dire qu'il répond un petit peu à un besoin). HB (discuter) 3 août 2014 à 08:39 (CEST)

Désolé, je ne voulais absolument pas critiquer l'article, mais son aspect non encyclopédique. C'est en fait un des problèmes de la méconnaissance de Wikiversité (et de Wikibooks) : des tas de fonctions non encyclopédiques sont remplies par des articles ne respectant absolument pas WP:Ce que Wikipedia n'est pas (de la recette de la tartiflette à la description rigoureuse de la syntaxe du langage APL) ; du coup, évidemment, le lecteur est bien content de trouver ça là, et c'est quand tout est dit infiniment moins grave que le problème des sujets d'actualité... Pour en revenir à cet article-ci (et aussi à celui sur les déterminants), ne suffirait-il pas de créer un plan clair, permettant au lecteur de savoir facilement comment utiliser la notion d'une part, mais aussi, par exemple, d'où elle vient ?--Dfeldmann (discuter) 3 août 2014 à 17:32 (CEST)

La motivation de l'étude des suites récurrentes linéaires (SRL) d'ordre 1 ne doit pas être difficile à justifier. Pour les SRL d'ordre 2, on doit pouvoir regarder du côté de l'analyse numérique ; elles surviennent par exemple dans les méthodes de différences finies. J'ai un bouquin qui dit qu'elles servent à calculer des déterminants de matrices tridiagonales, et que c'est utile pour calculer les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle (qui interviennent en physique comme en sciences de l'ingénieur), parce qu'on peut toujours la remplacer par une matrice symétrique tridiagonale qui a les mêmes valeurs propres.

Pour les SRL d'ordre n>2, je n'ai rien de tel, mais le cours de J.Voedts traite en détail la résolution (p.192-197). Au fait, Dfeldmann (d · c · b), on y trouve en exercice qu'une matrice compagnon est diagonalisable ssi son polynôme caractéristique a des racines simples ; la méthode attendue est apparemment de démontrer qu'il est en fait égal au polynôme minimal, via Cayley-Hamilton (qui s'établit lui-même en utilisant les matrices compagnons). On doit pouvoir trouver ça dans des écrits de concours d'écoles d'ingénieurs, mais je ne sais pas si ça fait une source acceptable. Asram (discuter) 3 août 2014 à 13:12 (CEST)

Comment améliorer le contenu ?

Bonjour, je crée une section à part, qui prolonge les interrogations précédentes, en espérant que ce sera utile. Quelques éléments de réflexion, à partir de trucs lus sur Internet (notamment ça).

• Apparemment, une des plus anciennes suites récurrentes est celle de Fibonacci ; il semble que dans Comtet, Analyse combinatoire (PUF), on trouve des liens entre suites récurrentes linéaires et problèmes combinatoires. Elles interviennent en analyse numérique, par exemple dans la méthode des différences finies, c'est sourçable ; en informatique, dans la notion de registre à décalage avec rétroaction linéaire.
• Les propriétés arithmétiques de ces suites font l'objet d'études (par exemple nature de l'ensemble des indices n tels que un soit nul).

Le contenu actuel est sans doute trop proche d'un bouquin de prépa, et n'est pas très utile sur les méthodes de résolution, et manque de propriétés remarquables (enfin, plutôt je ne les connaissais pas).

• La structure d'espace vectoriel est très utile mais plus riche qu'il n'y paraît (voir plus bas). La forme matricielle aussi qui introduit la matrice compagnon.
• Le passage par les puissances de la matrice compagnon ne me paraît pas pertinent, puisque les puissances difficilement calculables, sauf dans le cas diagonalisable. Mais la matrice n'est diagonalisable que si elle admet des valeurs propres distinctes, et dans ce cas on conclut par une famille libre de suites géométriques et la dimension.
• Dans les autres cas, la résolution passe plutôt par les idées suivantes : si P est le polynôme caractéristique (normalisé) de la matrice compagnon, Q son polynôme réciproque, G la somme de la série génératrice de la suite, on a la caractérisation suivante : une suite est une suite récurrente linéaire d’ordre p si et seulement si le produit (de Cauchy) R=Q*G est un polynôme de degré strictement inférieur à p (démo. facile, y a qu'à calculer).
• Première conséquence : l'ensemble des suites solutions est stable par produit de Cauchy !
• Deuxième conséquence : G est calculable, est une fraction rationnelle R/Q avec Q(0)=1 donc G est développable en série entière, et l'unicité du développement donne les coefficients de G, c'est-à-dire les termes de la suite. Si on le fait formellement, on obtient l'allure générale des solutions (une base de leur ensemble), comme obtenu dans l'article par le théorème de décomposition des noyaux.
• Conséquence de ce résultat : l'ensemble des solutions est stable par produit.

Bien sûr, le cas des suites récurrentes d'ordre deux doit être abordé avant avec des moyens plus simples.
Voilà.  HB :  Dfeldmann : (et  Anne Bauval : qui a donné plus haut un lien vers un article WP.en que je découvre au moment de poster), pensez-vous qu'on puisse bâtir quelque chose là-dessus ? Cordialement, Asram (discuter) 4 août 2014 à 18:55 (CEST)
Euh, je rectifie : la stabilité ne porte pas sur les solutions, une récurrence étant donnée, mais sur le fait que les produits vérifient une autre relation de récurrence linéaire . Asram (discuter) 4 août 2014 à 20:54 (CEST)

Oui, bien sûr ; une autre piste : cette histoire de série génératrice est essentielle pour aller plus loin, et toutes les indications nécessaires sont un peu partout, mais en particulier dans les bibles que sont Concrete Mathematics et (en) Philippe Flajolet et Robert Sedgewick, Analytic Combinatorics, Cambridge University Press, 2008 (ISBN 0-521-89806-4, lire en ligne)--Dfeldmann (discuter) 4 août 2014 à 19:02 (CEST)

Comme dis plus haut je passe la main par manque de compétence et vous fais confiance pour toiletter l'article. J'espère toutefois que ne disparaitra pas la recherche d'une base par décomposition du noyau. HB (discuter) 5 août 2014 à 07:37 (CEST)

Bon, je n'ai pas trop le courage d'approfondir. J'ai commis ça, y a toujours pas de sources, mais je ne tiens pas à l'imposer. Cordialement, Asram (discuter) 6 août 2014 à 20:22 (CEST)

Suite récurrente linéaire d’ordre 1

« Les suites récurrentes d'ordre 1 sont les suites géométriques.

Si la relation de récurrence est $u_{n+1}=q\,u_{n}$, le terme général est $u_{n}=u_{n_{0}}q^{n-n_{0}}$ »

Il y a aussi les suites arithmétiques ? Mcrapet 29 décembre 2014, 13:52:08.

Certains auteurs définissent (comme pour les équations différentielles linéaires) les suites récurrentes linéaires « sans second membre » (celles de notre article actuel) mais aussi celles « avec second membre ». Avec cette convention élargie, tu as raison : les suites récurrentes linéaires d'ordre 1 à second membre constant sont les suites arithmético-géométriques donc incluent les suites arithmétiques. Anne 29/12/14 19h25

Le moyen de s'en sortir alors sans tout casser est peut-être de trouver un titre plus précis à cet article comme suite récurrente linéaire homogène de faire un redirect (tant que personne ne veut se lancer dans un article sur les récurrence linéaire avec second membre) et d'indiquer dans le RI que certains auteurs parlent de suite récurrente linéaire tout court pour de telles suites tandis que d'autres auteurs acceptent l'existence de second membre dans les suites récurrentes linéaires et que celles de notre article portent alors le nom de suite récurrente linéaire sans second membre ou homogène. . Je ne crois pas qu'il y ait de méthode générale de résolution pour le cas où la suite comporte un second membre (constant ? dépendant de n?). On peut aussi compléter le cas des suites récurrente linéaire d'ordre 2 par quelques exemples de résolutions pour des récurrence avec second membre. HB (discuter) 30 décembre 2014 à 10:31 (CET)

Je n'ai pas (ces jours-ci) envie d'intervenir dans cet article. Je ne crois pas nécessaire de le renommer (il me semble que — contrairement aux équa diff — la récurrence linéaire pour les suites désigne quand même le plus couramment celle sans second membre) mais d'ajouter (dans le RI et/ou dans une section, existante ou dédiée) qq mots sur le cas sans second membre, et un lien Suite arithmético-géométrique. Anne 30/12/14 10h41