Discussion:Problème de Napoléon

première relecture

je ne comprend pas cette phrase: On démontre que l'on ne peut pas construire le centre d'un cercle à la règle seule. Il faut pour pouvoir réaliser la construction à la règle seule posséder un cercle auxiliaire dont on connait le centre.

Les constructions à la règle et au compas peuvent toujours se réaliser au compas seul . C'est ce que montre l'article sur un cas particulier. Elles peuvent se réaliser à la règle seule à condition de disposer d'un "gabarit", c'est à dire d'un cercle auxiliaire dont on connait le centre. Je crois que l'on peut aussi trouver le centre du cercle, à la règle seule à condition que celle-ci possède deux bords parallèles. La remarque est peut-être hors sujet dans l'article qui est censé donner une construction au compas seul. Si tu penses que oui, supprime sans état d'âme HB 5 juillet 2006 à 10:12 (CEST) PS : Dans l'article théorème de Pythagore, la règle 3 - 4 - 5 est évoquée dans la partie histoire

le gabarit permet de tracer un cercle ce qui est équivalent à l'usage du compas. Quant à la phrase en question, elle nécessite une mise en contexte plus profonde parce que d'entrée, comme ça, elle semble faire contre sens avec le problème posé: c'est son rapport à l'article que je ne saisit pas. Il est sans doute intéressant de développer, mais celà est hors de mes compétences, même si je pense pouvoir comprendre une fois la chose exprimée.

Le terme de "gabarit" est peut être mal choisi. Un seul cercle présent sur le dessin, ce n'est quand même pas équivalent à l'usage d'un compas (plusieurs cercle de centre et de rayon différent) . De toute façon, tu confirmes le hors sujet. je supprime donc. HB 5 juillet 2006 à 15:43 (CEST)

Quant à la démonstration: lorque j'ai trouvé par hasard la solution j'ai fait une vérification par résolution analytique (équations de cercles et intersections), faisant intervenir aussi les points D et D' (médiatrice de [OA]).

j'ai préféré une démonstration purement géométrique qui me semble plus courte.HB 5 juillet 2006 à 10:12 (CEST)

L'image étant à l'origine vectorielle, je peux fournir j'ai fourni une figure dans le cas où r<R ce qui place C entre O et A. Si cela est utile me prévenir vite. URGENT ! --Ruizo 5 juillet 2006 à 01:15 (CEST)

pourquoi ne mets tu pas une version svg sur common ? et pourquoi ne mets tu pas ces deux images sur common? HB 5 juillet 2006 à 10:12 (CEST)

je ne suis qu'un modeste mécanicien et je ne travaille qu'avec mes outils de mécanicien. Je ne sais pas si je peux obtenir de tels formats avec Solidworks. J'ai utilisé une esquisse SW pour faire ces figures parce que j'en maîtrise les commandes (quelques minutes ont suffit pour aboutir à ce résultat). J'étais surpris de ne rien voir à ce sujet, alors j'ai essayé de créer l'ouverture. Quant à la démonstration, beaucoup trouveront la solution analytique plus facile à comprendre même si elle est plus difficile à mettre en oeuvre. On se réfigie plus facilement derrière des équations, mais le raisonnement géométrique est bien plus élégant. Je ne veux pas donner une alternative mais une autre approche. De ce problème, je ne apporter que la solution que j'ai trouvée après de longues heures de tâtonnement, et finalement presque par hasard--Ruizo 5 juillet 2006 à 15:15 (CEST)

Si tu tiens à mettre la solution analytique, ne te gêne pas, je peux même te proposer mon aide pour la mise en forme mais les calculs me rebutent. HB 5 juillet 2006 à 15:43 (CEST)

il faut d'abord la recoucher sur papier... c'était il y a 15 ans. Je vais faire l'effort.

Remarques

1-Il n'est pas démontré que C3 coupe C1. c'est vrai si et seulement si le rayon de C1 est superieur a la moitié du rayon a de C qui est malheureusement inconnu. il faut donc tracer un cercle c1 de centre A et de rayon "assez grand pour etre superieur a la moitié de celui de C et assez petit pour etre inférieur a son double (sinon B et B' n'existent pas)" Ca ne fait pas tres mathematique comme énoncé, mais c'est comme ca. si on ne peut taper entre a/2 et 2a, la figure est fausse on ne peut raisonner, les 4 points B B' D D'n'existant pas tous.

2-la formule AH= b**2/2a peut se démontrer en 2 lignes en appliquant pytagore successivement aux triangles rectangles AHB et OHB.elle devait etre connue des grecs et meme des babyloniens. En tout cas, elle figurait sur la 4eme de couverture de mon cahier de brouillon quand j'étais collégien (je me demande si AH n'est pas ce que l'on appelait "apotheme"), et était certainement connue d'un éleve d'école d'artillerie fin XVIIIeme siecle, qui avait de solides connaissances géométriques...

3-donc Napoléon n'avait pas besoin de savants pour trouver cette construction qui aujourd'hui parait difficile, mais devait lui paraitre assez simple. Seulement un peu astucieuse... Qu'en pensez vous? - ( Olivier, de Budapest)

Pour le point n°1 : il me semble que si le rayon du cercle C1 est inférieur à la moitié de celui de C, ça n'empêche rien. Les points B et B' existeront bien, non ? La seule contrainte absente de l'énoncé est effectivement que le rayon de C1 doit être inférieur au diamètre de C. On pourrait peut-être dire : "Soit un cercle C1 de centre A et de rayon tel qu'il coupe le cercle C en deux points B et B' " ou plus sobrement "Soit un cercle C1 de centre A coupant le cercle C en deux points B et B' "... --Bwilliam^«bla» 26 octobre 2006 à 09:51 (CEST)

Les remarques de l'IP sont très pertinentes.

1. Oui, pour que les points D et D' existent il est nécessaire que C3 coupe C1. Ce qui ne se produit que si R > r/2. Pour que les points B et B' existent, il est est nécessaire que R < 2r. Ces deux conditions doivent figurer dans l'article.
2. La démonstration utilisant les propriétés du triangle rectangle est, je suppose, celle utilisant la propriété à laquelle il fait allusion dans son quatrième de couverture. C' est la propriété caractéristique des triangles rectangles : ABC est rectangle en B si et seulement si AH x AC = AB² où H est le pied de la hauteur issue de B (le terme d'apothème me parait en revanche inapproprié). Propriété classique démontrée jadis (il y a quelques dizaines d'années) en troisième. L'emploi du produit scalaire est donc superflu et anachronique ==> deuxième modification à effectuer un peu plus lourde car nécessitant de présenter une autre figure.
3. Concernant la paternité de la démonstration à Napoléon, il faut ici être plus prudent: Napoléon avait des ambitions mathématiques certaines : il a énormément regretté de ne pas être reçu à l'académie. Il avait des connaissances certaines dans ce domaine mais les constructions uniquement au compas était aussi dans l'air du temps : paternité Napoléon ? Mascheroni ? , l'honnêteté intellectuelle et mon ignorance historique oblige à présenter les deux hypothèses.

HB 26 octobre 2006 à 11:39 (CEST)

Nouvelle question pour le point n°1 : est-il pertinent, pour définir le rayon de C1, de donner des contraintes par rapport au rayon du cercle C ? Parce que justement, le problème est qu'on ne connaît pas le rayon de C (sans quoi on pourrait immédiatement déterminer son centre)... Je chipote peut-être un peu... --Bwilliam^«bla» 26 octobre 2006 à 12:24 (CEST)

:-) oui, je pense que tu chipotes car on peut , à vue de nez, prendre un distance supérieure à r/2 et inférieure à 2r. sans connaitre la valeur exacte de r: il suffit de se placer assez proche ou au delà du centre supposé

Tu as raison. Je vais partir manger, ça ira mieux après... --Bwilliam^«bla» 26 octobre 2006 à 12:44 (CEST)

Confusion possible

Attention,le fait que le cercle C et le point C soient dénommés de la même manière peut prêter à confusion. A bientôt. Kevung

Tu as entièrement raison. Le dessin ne prête pas à confusion car deux typographies différentes sont utilisées pour le cercle et le point. Par paresse, je n'ai pas changé de typo. C'est une erreur qui est maintenant rectifiée. HB (d) 18 mai 2008 à 09:41 (CEST)

Note rectificative

Pauldehenau vient d'ajouter un note rectificative que je viens d'enlever

• d'une part, il annonce que la démonstration présentée avant son ajout est fausse. Cela serait à prouver et si c'est le cas il faudra la supprimer
• d'autre part, il présente une démonstration qui affirme d'emblée que DO = R alors que cela ne fait pas partie des données de départ (la construction donne DX=R)

La démonstration figurant dans l'article a tenu depuis presque 14 ans, il faudra des arguments plus solides qu'une démonstration confuse pour la changer.

Si on doit la changer, il faudra mettre une démonstration sourcée (on peut en trouver sur le net). En attendant, on garde la démonstration qui figurait au préalable. HB (discuter) 3 novembre 2022 à 17:12 (CET)