Discussion:Loi de composition interne

Opération binaire

on dit pas "operation binaire" en francais, ou c'est autre chose? -- Tarquin 10:42 jan 25, 2003

"loi de composition interne" est ce qui est le plus utilisé en mathématiques... c'est ce que j'ai appris, et c'est ce qui est utilisé dans d'autres sites mathématiques sur le net.

La notion d'"opération binaire" existe néanmoins; elle est utilisée en logique et en informatique, et c'est peut-être à ça que tu penses...

Snark 11:03 jan 25, 2003

C'est que j'ai une education anglaise, donc je connais pas les termes des maths en francais. Donc, "binary relation", j'ai traduit au pif ... ;-) -- Tarquin 19:08 jan 25, 2003

Il me semble que les propriétés seraient beaucoup plus lisibles en notant x T y au lieu de f(x,y). Cham 17 fév 2004

Vulgarisation

Les exemples apportés ce jour me semblent surtout vulgariser la notion de groupe abélien davantage que celle le l.c.i. et je regrette que cela se soit fait au détriment de la référence à la concaténation qui me semble être l'exemple idéal pour parler aux non-matheux. Cham 23 oct 2004 à 17:18

Complètement d'accord, plus l'exemple est simple, mieux c'est. Il me semblait interessant de montrer que les mêmes propriétés peuvent se trouver dans des ensembles différents, et (je ne l'ai pas fait) que les théorèmes démontrés sur l'un peuvent s'appliquer à l'autre — sinon, on peut s'arrêter en deux lignes, ce qui ne serait pas forcément une catastrophe, l'exemple que j'ai donné est trop long, et les translations sont un exemple particulièrement artificiel pour dire espace vectoriel. Je ne sais pas trop ce qui peut se dire sur les concaténations, et s'il y a plusieurs structures pour faire un parrallèle.

Je ne suis pas d'accord avec le choix de la concaténation. Cette opération est simple (je l'aime beaucoup), mais elle n'est pas naturelle pour un non-matheux non-informaticien, et nécessiterait des explications supplémentaires. La soustraction sur $\mathbb {Z}$, déjà utilisée en exemple, me semble un meilleur choix: ce n'est ni un groupe abélien, ni même un groupe, et tout le monde en est familier. Jerome.Abela 16 déc 2004 à 11:00

Un renvoi vers algèbre pourrait bien être suffisant, le but de ma prose était plus d'essayer d'illustrer, sans grand succès, les méthodes de l'algébre plus que quoi que ce soit qui soit propre aux l.c.i (pas grand chose à expliquer de toutes façons), ou aux groupes abéliens.Didup 23 oct 2004 à 18:42

Imprécision

Ca n'est pas grand chose mais il mre semble qu'il y a une confusion avec cette phrase qui me paraît trop générale :

la division n’est pas une loi de composition interne, parce qu’on ne peut pas diviser par zéro : par exemple, « 3 / 0 » n’a pas de sens.

la division n’est pas une loi de composition interne sur $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {Z}$ mais elle l'est sur $\mathbb {R} /\{0\}$ ou $\mathbb {Z} /\{0\}$ (par exemple), non?
--Coelacanthe 4 mars 2006 à 23:28

Tu as en partie raison: il est nécessaire de donner l'ensemble sur lequel on cherche à définir la loi. Mais attention, la division n'est pas une loi de composition interne sur $\mathbb {Z} /\{0\}$. (article corrigé dans ce sens). HB 5 mars 2006 à 10:32

Oui en effet désolé, erreur d'étourderie, 4/5 n'appartient pas à $\mathbb {Z}$* par exemple...
--Coelacanthe 5 mars 2006 à 23:43

Anticommutativité

J'ai deux problèmes avec la définition de l'anticommutativité donnée en fin du paragraphe "Existence d'éléments remarquables" :

- elle ne correspond pas à celle que je connais, où une loi est dite anticommutative si on a $\forall (x,y)\ x*y=(y*x)^{-1}$

- en admettant que la définition soit correcte (loi unifère où le neutre est le seul élément commutatif), cette définition devrait se traduire par $(\forall x\in E,\ x*c=c*x)\Rightarrow (c=e)$.

Qu'en est-il ? --195.83.11.66 7 novembre 2007 à 16:40 (CET)

- En ce qui concerne le second point, il s'agit d'une erreur d'étourderie : la formule de cette définition a été obtenue par copier/coller de la formule précédente, et une correction a été oubliée : $x*y=e$ doit être remplacé par $x*y=y*x$;

- En ce qui concerne le premier point, la réponse semble être : « les deux, mon capitaine » ! Le terme d'anticommutativité est employé avec deux sens distincts, l'un ou l'autre suivant les auteurs :

- dans une acception, une loi est anticommutative quand aucun élément, à l'exception d'un éventuel élément neutre, n'est commutatif (c'est l'acception qui figurait jusqu'ici dans l'article);

- dans une autre acception, une loi est anticommutative quand elle vérifie une propriété opposée dans un certain sens à la commutativité (c'est l'acception que vous signalez).

Le problème, c'est que ces deux acceptions paraissent s'ignorer mutuellement, et qu'il n'existe pas, à ma connaissance, d'appellations alternatives permettant de les distinguer. Il me semble donc que la solution la plus honnête est de présenter les deux définitions, en signalant bien qu'elles n'ont a priori rien à voir l'une avec l'autre. Maintenant, si quelqu'un a une meilleure idée...

80.118.33.228 15 novembre 2007 à 11:31

Où trouve-t-on la première acceptation, de "Vrais" Exemples ? Pour la seconde, la loi pour l'inverse n'est pas forcément la même, cette définition ne fonctionne pas pour le produit vectoriel, cas le plus courant. Le cadre des lois internes ne parait pas le bon, voir en:anticommutativity. Proz (d) 8 novembre 2009 à 18:54 Paragraphe effacé le 10 novembre 2009

loi, relation, operation

Il ne semble pas que la notion de loi soit formalisée: il faut une definition de "loi" , sachant que les lois internes et externes ne sont que des cas particulier. Quels liens entre le concept de "loi" et celui de "relation" ? zorgi

Réponse d'Ambigraphe sur une autre PdD Anne 13/1/10

Vocabulaire

J'ai des doutes au sujet de certains dénominations employées dans cette page (sont-elles vraiment utilisées ? Par qui ?) apparues pour la plupart sous IP en février 2005 (voir aussi loi de composition externe, correspondance et relation, etc.) :

• projecteur dans le sens d'idempotent (pas aberrant mais je n'ai jamais entendu)
• dévolutif [fait]
• irrégulier
• antirégulier
• nilpotent (pour une loi, par ailleurs pour un élément c'est restreint à l'ordre 2 ...)
• symogène (peut-être renvoyer sur quasigroupe) [fait]
• neutroactive (idem ?) [fait]
• idempotente pour une loi
• involutive pour une loi
• absorbante pour une loi (ajout 24/03/11)
• loi permutative (est-ce que ça a toujours le même sens ? Où trouve-t-on celui-ci ?)

Quand des terminologies rares sont utilisées, les gens les redéfinissent, elles peuvent éventuellement être employées dans des sens différents suivant les domaines. Faire des listes de ce genre n'est pas très utile, surtout sans aucune indication sur l'usage. ce plus ça peut être de l'invention. Je suis d'avis de faire le ménage. Proz (d) 14 janvier 2010 à 18:36

Laisser traîner ce genre de trucs est plus nuisible qu'autre chose, j'ai vérifié que ni "symogène", ni "neutroactive" n'apparaissent dans des textes mathématiques sur google books et google scholar, dévolutif est un terme juridique, etc. Wikipédia:Travaux inédits interdit clairement l'introduction de néologisme et ça me semble une excellente chose. Je compte retirer assez rapidement ces appellations (sauf si quelqu'un peut les sourcer et les contextualiser évidemment). Proz (d) 23 mars 2011 à 22:40

Comme définit ici, une loi $*$ est dite symogène s’il existe pour chaque couple ( a, b ) de $E^{2}$ une solution ( x, y ) unique aux équations $a*x=b\ \ et\ \ y*a=b$, c’est-à-dire si :

$\forall \ (a,b)\in E^{2},[\ \exists \ x\in E/\ (a*x=b)\wedge [\ \forall \ z\in E,\ (a*z=b)\Rightarrow (z=x)]]\,\wedge [\ \exists \ y\in E/\ (y*a=b)\wedge [\ \forall \ z\in E,\ (z*a=b)\Rightarrow (z=y)\ ]]\,$

L'expression avec z permet d'assurer l'unicité du couple solution (x,y).

A noter que toute loi symogène est nécessairement régulière.

-- doggy20 02 avril 2015 à 16:59

Ce lien ne vaut rien (c'est une copie de Wikipédia). J'ai complété le ménage ci-dessus de Proz par des . Anne 5/4/17 20 h 38

Notation « tel que »

Dans toutes les occurrences des formules contenant '$\exists$' l'auteur utilise ensuite le symbole '/' pour signifier « tel que » (je crois). Dans ces cas, par soucis de clarification, je souhaite remplacer les '/' par des '|' (U+2223 ou U+007c) qui permet au néophyte de retrouver le sens « tel que » en consultant Table_de_symboles_mathématiques ou (Unicode - Opérateurs mathématiques - U2200.pdf)… Au contraire du '/' qui ne permet pas de retrouver facilement le « tel que ». J'aimerais tout de même une petite confirmation, avant de procéder. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Otik (discuter), le 5 avril 2017 à 13:55

Feu vert pour ma part (fais à ta guise). Il me semble qu'il n'existe pas de notation normalisée

• dans ce livre, on se contente de l'espacement
• dans cet autre on met une virgule comme séparateur
• dans ce dernier on est un peu plus directif : on préconise la virgule et on indique que les séparateurs que l'on rencontre parfois / ou | sont désuets et à éviter.

Je te laisse donc choisir la solution qui te semble la meilleure. HB (discuter) 5 avril 2017 à 14:39

La notation « normalisée » est : ni « / », ni « | », ni même « , ». Anne, 5/4/17 15 h 38

Merci pour les références et précisions. Moi, en néophyte, je ne vais pas me lancer dans une querelle d'experts. Mon souci était de clarifier la notation en utilisant un symbole dont la signification peut-être retrouvée [relativement] aisément (ce qui n'est pas le cas, dans ce contexte, pour « / »).

Faudrait-il remplacer

$\exists x\in E/\ x*x=c\,$

par

$\exists x\in E\ x*x=c\,$

pour une notation « normalisée » ?

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Otik (discuter), le 5/4/17 à 17 h 18.

Bourbaki écrirait $\left(\exists x\right)\left(x\in E{\text{ et }}x*x=c\right)$ ou $\left(\exists _{E}x\right)x*x=c$. Comme disait HB, il y a plein de variantes de notations, mais les 2 plus courantes me semblent $\exists x\in E,\ x*x=c$ (dans les ouvrages pédagogiques) et $\exists x\in E\quad x*x=c$ (dans les traités de niveau plus avancé).

Anne, 5/4/17 21 h 08

Merci encore. Les initiés comprendront la version « , » et elle sera moins ambigüe que « / » pour les autres. En fait, la première version Bourbaki me semble la plus claire mais, pour être cohérent, il faudrait normaliser toutes les formules en « ∀ » également. Je vais m'en tenir à « , » pour ne pas risquer les erreurs.

Alternativité et associativité des puissances

Je partage le doute d'Anne sur le fait qu'un magma alternatif vérifie automatiquement l'associativité des puissances (je me demande s'il n'y a pas confusion avec une algèbre alternative). Si j'en crois ce site, il est possible de démontrer qu'un magma alternatif vérifie l'associativité des puissance jusqu'à la puissance 5[1]. Il serait intéressant d'exhiber un exemple de magma alternatif ne vérifiant pas l'associativité des puissances pour une puissance supérieure mais j'avoue là mon incompétence. Je propose de supprimer la remarque. HB (discuter) 6 avril 2017 à 11:40

Je crois que j'ai un contre-exemple (mais pas mettable car TI) : le magma {0, a, a², a³, a⁴, a⁵, b}, avec comme loi :

• 0x = x0 = bx = xb = 0 pour tout x,
• a³a³ = b et
• pour (p, q) ≠ (3, 3), a^pa^q = a^p+q, où aⁿ désigne 0 si n ≥ 6. Anne, 14 h 32

Mais il est commutatif donc flexible, i.e. (xy)x = x(yx). Ce serait mieux d'en trouver un non flexible en plus d'être alternatif et non associatif des puissances. Anne, 14 h 47

Bravo déjà pour ce contre-exemple ! Cela me semble juste. J'avais commencé comme toi mais je n'avais pas pensé à prendre z = x*x⁵=0. Du coup j'étais coincée avec des y*x égaux à des z*x. TI donc mais qui nous rassure sur la suppression de la propriété. Pour l'alternatif non flexible, on verra plus tard. HB (discuter) 6 avril 2017 à 15:30 (CEST)

Bonjour, je commence aussi à douter que l'alternativité implique l'associativité des puissance. Cependant, je ne suis pas convaincu par l'exemple d'Anne. En effet, on n'a pas défini ce que signifiait a^p a^q pour le cas p+q>5. Et le cas le plus évident (prendre p+q modulo 5, et remplacer les 0 par des 5) ne fonctionne clairement pas, car on n'aurait alors pas l'alternativité, exemple:

 a3(a3a2)= a3a5=a3
 (a3a3)a2= b a2=0

Cela dit, peut-être qu'on peut trouver un cas respectant les règle de cet exemple (et une définition de a^p+q adéquate pour le cas où on dépasse 5) qui fonctionne. La question m'intéresse aussi, je vais aussi faire mes recherches (en commençant par essayer d'exploiter l'exemple d'Anne, c'est toujours bien de commencer dans un cadre).

--Un autre type (discuter) 12 avril 2018 à 14:15 (CEST)

« on n'a pas défini ce que signifiait a^p a^q pour le cas p+q>5 » : si, j'ai défini a^p a^q dans tous les cas.

« a³(a³a²)= a³a⁵=a³ » : avec ton choix oui, mais avec le mien on a bien a³(a³a²)= a³a⁵ = 0.

Anne, 17 h 01

Oui, en effet, je n'ai pas fait suffisamment attention. Pardon. --Un autre type (discuter) 12 avril 2018 à 17:32 (CEST)