Discussion:Inconnue (mathématiques)

Désaccord total avec la nouvelle introduction

On peut très bien militer pour une cause ou un vocabulaire. Décréter que le terme racine ne s'applique pas aux équations ou que le terme inconnu, ne s'applique pas aux polynômes, ne me gène pas le moins du monde. Imposer par un revert ses lubies est beaucoup plus douteux.

Le problème est que dans ce cas, un malheureux qui lit un article, parcourt un site ou suit un cours qui ne respecte pas ce militantisme, ne peut plus comprendre. Les articles faisant usage du terme inconnue dans un polynôme, hors de tout contexte d'équation, existent. Je ne suis pas d'accord pour laisser tomber ces lecteurs.

La règle du jeu est de sourcer son opinion. Aucune référence n'indique que le terme inconnue est impropre. La moindre des choses, avant de retrancher des informations référencées est de fournir une référence justifiant sa position.

Enfin, le concept d'inconnue est largement préexistant à celui de paramètre dans l'enseignement. Supposer la notion de paramètre nécessaire dès l'introduction détruit tout l'intérêt de l'article tel qu'il était rédigé.

Maintenant, je me demande bien quel public peut trouver le moindre intérêt à l'article : ceux qui maitrisent déjà les paramètres et qui cherchent la signification du mot inconnue dans son acception la plus courante ? J'aimerais bien trouver l'oiseau rare qui correspond à ce profil. Jean-Luc W (d) 24 novembre 2008 à 20:29 (CET)

Enrichissements

L'article vise maintenant un triple public. Tout d'abord les néophytes qui utilisent pour la première fois la notion d'inconnue. Il est rédigé avec le moins de concepts complexes possibles. Ainsi, l'article ne contient pas de paramètre. Ensuite, il vise le public des gens qui ne comprennent pas tout. Une question qui manifestement se pose est la différence entre une racine et une inconnue. Pourquoi la réponse rigoureuse à l'équation (x-2)(x-3)=0 n'est pas x=2 ou 3, mais x₁ = 2 et x₂ = 3. Enfin, il retrace l'histoire de l'inconnue pour la partie la plus érudite du public.

L'objectif est de permettre à ceux qui lisent le mot inconnue d'en comprendre le sens. Je conçois très bien que le choix du terme inconnue pour un polynôme formel soit considéré comme peu judicieux, je partage d'ailleurs cet avis. En revanche, ce terme est utilisé, et je ne crois pas que la vocation de WP soit uniquement d'expliquer le sens des mots qui semble le plus approprié au contributeur, mais de couvrir au mieux les besoins de nos lecteurs, même s'ils lisent des textes dont la sémantique n'a pas l'approbation de tous. Jean-Luc W (d) 25 novembre 2008 à 16:06 (CET)

Inconnue (mathématiques) et indéterminée

Merci de ton message. J'ai assez peu de temps en ce moment même pour regarder ces choses de près. Pour répondre à tes questions et faire quelques commentaires:

• Je préfère qu'un article soit consacré plutôt à un concept qu'à un mot. Donc je continue de penser qu'il vaudrait mieux renvoyer à un autre article pour l'indéterminée dans les polynômes formels, qui n'est pas une variable au sens par exemple de la logique mathématique. Concrètement, il me semble qu'il faut l'éliminer de l'introduction et conserver le court paragraphe dans la suite.
• Egyptiens et Babyloniens : je vois que tu as essayé de rattrapper le coup dans la suite. Les textes d'IREM pour collégiens se soucient j'ai l'impression plus de pédagogie que d'exactitude historique (heureusement pour les collégiens). Il reste que tu écris "il est possible d'opérer sur l'inconnue exactement comme sur une valeur 2, 5 ou √2", ce que ne font ni les égyptiens, ni les grecs, et Diophante n'envisage pas de calculer avec des expressions contenant une inconnue, si je comprends bien ce que tu as écris. Il faut aller à la fin de l'article, qui contredit quand même un peu le début, pour avoir la bonne vision. Ca me semble embêtant.
• Sur la suite. On parle en général d'inconnue dans un certain contexte, une équation, un problème. De même pour une variable muette : il y a souvent un opérateur explicite comme le signe intégral, la notation ensembliste qui lie (ou mutifie) la variable. L'inconnue d'une équation c'est assez semblable : l'équation x² +a = 0 d'inconnue x et l'équation y² + a = 0 d'inconnue y sont les mêmes (même ensemble de solution), x est muette. Par contre si je change le paramètre (qui pourra alors prendre une valeur différente), ce n'est plus la même équation.

Aujourd'hui, il me semble que l'on parle de variable, l'inconnue est une variable (envisagée dans un contexte particulier). Quand tu dis "Les identités remarquables sont encore des égalités toujours vraies. Elles s'appliquent de la même manière sur l'inconnue", pour moi ça n'a pas grand sens,. Le paragraphe "variable" n'en a pas trop non plus. "Variable muette" n'est pas utilisée à bon escient (la fonction qui à x associe 2x+1, la variable est muette. La variable x n'est normalement pas muette dans l'expression f(x)=2x+1, elle l'est si on dit la fonction f(x)=2x+1, mais beaucoup trouveront que cette dernière expression n'est pas correcte). (En logique on est obligé de s'intéresser un minimum à ses questions de variable liée ou muette/libre ou parlante, à cause des quantificateurs).

• racine : plus personne (là je ne crois pas me tromper) n'utilise racine pour inconnue. C'est intéressant (j'ai appris des choses) mais à déplacer dans le paragraphe sur l'histoire (et les équations du second degré de l'époque avaient souvent "une seule solution", celle positive, quand elles en avaient une). Pour les équations, on dit plus volontiers solution que racine. Proz (d) 30 novembre 2008 à 18:05 (CET)

Je ne peux qu'acquiescer aux remarques de Proz, qui semblent souffrir des mêmes « lubies » [sic] que moi. J'espère que cette argumentation te convaincra. Quant aux messages personnels, je préfère qu'ils soient adressés sur ma page de discussion plutôt que sur celle d'un article. Sans rancune, Ambigraphe, le 30 novembre 2008 à 19:00 (CET)

Juste pour être clair sur ma position : si un terme est utilisé même si on juge que c'est impropre et se réjouir que le vocabulaire devienne plus précis (ça a de l'importance pour les débutants), on est bien obligé de le mentionner. En l'occurrence, je pense qu'il vaut mieux ne pas parler de polynôme formel dès l'introduction, parce qu'il me semblerait plus clair que le sujet de l'article soit "inconnue" au sens "inconnue d'un problème". Le malheureux qui veut comprendre ce qu'est un polynôme formel et vient lire l'article inconnue sur wikipedia est mal parti (il faut espérer qu'il cherchera plutôt polynôme (qui est loin d'être parfait).

Incidemment je suis tombé il y a quelques temps sur un texte d'Hadamard de 1950 qui regrettait le "gachis" de vocabulaire en mathématiques (trop de mots pour la même signification), il me semble bien que l'exemple était racine / solution. Proz (d) 30 novembre 2008 à 19:50 (CET)

Ce qui précède a été écrit sur la page de discussion de Jean-Luc en réponse à une sollicitation de sa part sur la mienne. Je n'avais pas l'intention d'écrire dans la page de discussion de cet article (auquel je ne crois pas trop). Proz (d) 3 décembre 2008 à 00:19 (CET)

Réponse de jl

Nos opinions sont clairement différentes. Cette situation est relativement fréquente et, bien géré, elle permet une bonification de WP. Si nos opinions diffèrent, pour ce mettre d'accord, il me semble que la recherche de critères objectifs est la meilleure méthode pour trouver une solution qui soit meilleure que nos deux opinions respectives. Je te propose donc une réponse en deux parties : tout d'abord établir les critères qui permettent de trancher et ensuite d'analyser nos désaccords.

Critères de décisions

Tous d'abord, les références me semblent une bonne approche. Tu indiques par exemple que On dit plus volontiers solution que racine. Mon opinion est que dans ce contexte, c'est plutôt l'inverse. Pour l'article en question, les sources me semblent de trois natures : les textes didactiques utilisés pour l'apprentissage des mathématiques, essentiel pour un article de cette nature; les textes d'histoire des sciences qui ont un rôle puisque le paragraphe historique n'est pas négligeable et enfin les textes universitaires. Le type d'équation qui est étudié est essentiellement algébrique et du premier et du deuxième degré. C'est par ce type de questions que la notion d'équation apparaît dans l'enseignement et dans l'histoire. Ainsi, je n'ai pas étudié l'usage des termes pour les équations différentielles ou aux dérivées partielles. Si je regarde la signification du mot racine, mes sources me donnent toujours comme première signification celle de l'article. Tu trouves cette acception dans Encarta aussi bien à racine (mathématiques) qu'à équation. Pour les textes historiques, il n'existe pas d'autre sens du mot racine. Il faut dire que pas un texte n'utilise d'autres termes que celui de racine, ni celui de Galois, Ni celui de Lagrange, si celui de Vandermonde, ni l'algébra de Bombelli etc... J'ai aussi regardé les textes modernes par acquis de conscience : le texte de Douady sur Galois ou encore celui de Serre, on ne trouve que le terme de racine pour une équation algébrique. Que signifie à ton avis le terme de racine et d'où vient la définition que tu proposes ? Ne confonds-tu pas ce terme avec le concept analytique de zéro d'une fonction.

Le deuxième critère que je te propose est la fréquentation. Tu indiques plus personne (là je ne crois pas me tromper) n'utilise racine pour inconnue. En préparant l'article, j'ai testé les petits exemples sur des cobayes (qui, vu la cible visé sont des gens qui ne maîtrise pas le concept d'inconnue). L'une des grosses difficulté que j'ai eu c'est de faire comprendre que l'inconnue correspond à la lettre x dans x + 1/5.x = 21, et que, quelques lignes plus tard, on écrit x=17+1/2, que x est toujours l'inconnue, mais que 17+1/2 n'est pas l'inconnue mais la racine. Je pense que nous avons en tête deux publics différents. Ce qui font la différence entre une racine et une inconnue n'ont pas besoin d'exemples introductifs aussi simplets que ceux que je propose et l'article serait alors mal ciblé. Si l'article est mal ciblé, sa fréquentation sera faible. Si j'ai raison, l'article Indéterminée tel que rédigé maintenant, ne devrait pas décoller (moins de 100 visites mois une fois) et celui inconnue devrait décoller. Si j'ai raison sur la source du public de l'article Indéterminée provient en grande partie de l'article Inconnue (mathématiques) et est de loin pas assez savant pour tirer un intérêt quelconque à Indéterminée. Les liens de l'article Inconnue vers Indéterminée ont un nom bidon Indéterminée (mathématiques) pour connaître la source. Ce critère de décision te semble-t-il judicieux ?

Différences de point de vue

L'article se veut orienté vers un concept. Ce concept que je propose est choisi par les historiens des sciences Heath, Peiffer ou Eecke, les didacticiens comme Radfort, ou les sites didactiques comme les plus populaires sur Google ou les spécialistes de l'équation algébrique comme Douady. C'est le concept développé initialement par Diophante et Al-Khawarizmi, avec par exemple la phrase de Diophante pour définir les caractéristiques de l'arithme : L'inverse de l'arithme multiplié par le bicarré de l'arithme donne le cube de l'arithme. Ce concept est exactement le même que celui d'indéterminée, même si le formalisme n'est pas explicité et le contexte différent. Il me semble que c'est l'unique concept opérationnel pour définir une inconnue d'une équation algébrique, la seule utilisée pour les débutants. La lettre x correspond à un être mathématique disposant au moins d'une multiplication et d'une addition. Ainsi, c'est l'usage qui favorise la préférence du mot indéterminée ou inconnue, dans le cadre des équations algébriques, mais pas le sens. Je connais deux autres sens possibles. Le premier est celui de variable, c'est à dire d'un élément quelconque pris dans un ensemble. La valeur x désigne alors un élément générique d'un ensemble et rien de plus. Ce sens est par exemple exactement celui du mot égyptien aha, les problèmes du premiers degré sont résolus par une suite d'approximations où on tente des valeurs de plus en plus précises pour le aha, et ceci dans un pré-langage symbolique ou l'absence de propriété algébrique du aha interdit la moindre manipulation autre que le simple essai. Le troisième sens est celui d'un langage formel. Le terme x correspond à une notation dans un univers structuré par le concept de fonction. Il débute avec Leibnitz. Je ne sais pas quel x tu choisis et sur quel argument tu te fondes. Si tu l'acceptes chez Viète, alors le x que tu décris est, au dire même de son auteur, celui de Diophante. On trouve souvent Viète comme véritable fondateur de la théorie des équations, mais pour une raison qui n'a rien à voir avec le formalisme de l'inconnue. Il transfère l'idée grecque du paramètre de la géométrie à l'équation, ce que personne n'avait fait avant lui. A tes yeux, quel est le critère clé définissant l'inconnue pour un article introductif : La variable au sens des égyptiens, c'est à dire un élément pris dans un ensemble ou le terme de variable au sens du formalisme fonctionnel de Leibnitz ? Quels sont tes critères ?

Je ne crois pas avoir rattrapé aucun coup. J'ai suivi la logique des didacticiens ou des historiens. Je commence par des exemples, qualifiés par les spécialistes, de problème du premier et second degré, choisi chez les égyptiens et les babyloniens. Cette attitude correspond à ce qu'ils font tous, historiens comme didacticiens. J'indique ensuite que ce l'on appelle exactement une inconnue dans le contexte d'une équation algébrique. Ensuite, je répond aux questions historiques, précisant qu'un problème du premier degré existe depuis Mathusalème mais qu'une équation est plus récente. Il est certain qu'un lecteur cherchant des informations historiques et ne lisant pas le paragraphe adéquat, contenant des phrases comme Pendant des millénaires, les problèmes à l'image des deux exemples introductifs, étaient traités sans le concept d'inconnue que nous connaissons. ou Le terme d'algèbre, pour une époque où la recherche de l'inconnue n'est pas encore explicite, et encore moins l'étude des "équations", doit être utilisé avec prudence. pourrait commettre la même erreur d'interprétation que celle de Paul Tannery au XIX^e siècle. En revanche, je jette l'éponge sur un lecteur tirant des conclusions historiques sans lire la partie sur l'histoire. Quelle contradiction vois tu ? entre les différentes parties ?

Désolé d'avoir été si long, et merci de ton aide. Jean-Luc W (d) 1 décembre 2008 à 12:20 (CET)

PS l'article ne traite pas du tout de l'inconnue d'un problème, question dont les premiers éléments de réponses écrites sont clairement babyloniens et égyptiens, mais inconnue d'une équation, le mot équation étant pris au sens de l'expression usuelle théorie des équations définie par exemple par Encarta.

Réponse d'Ambigraphe

Je vais tenter d'expliquer la position que je crois partager avec Proz. Il y a un problème de vocabulaire, portant sur deux mots distincts et a priori sans rapport :

• le mot « racine », désignant à l'origine l'antécédent d'une opération puissance et employé par al-Khawarizmi dans ses équations algébriques pour désigner l'inconnue, employé effectivement pendant un temps (et peut-être encore parfois aujourd'hui) pour désigner l'inconnue d'une équation algébrique, aujourd'hui écarté de ce sens par le mot « solution » ;
• le mot « inconnue », employé essentiellement pour désigner une quantité satisfaisant une ou plusieurs équations, mais apparaissant anecdotiquement pour désigner l'indéterminée d'un polynôme, ce qui n'a rien à voir.

Plusieurs erreurs entachent la « réponse » ci-dessus :

1. Il est faux que ces sources « donnent toujours comme première signification [du mot racine] celle de l'article. » La première source mentionne comme première acception « nombre réel qui, multiplié par lui-même un certain nombre de fois, est égal à un autre nombre donné ». La deuxième source ne définit pas le mot « racine », pas plus que les autres sources, qui en emploient un sens particulier pour des équations algébriques. J'ose espérer que l'article « Inconnue » n'est pas destiné à traiter que les équations algébriques.
2. Il est faux d'écrire que l'utilisation du mot « racine » serait justifiée par la fréquentation de l'article « Indéterminée ». Ça n'a rien à voir. C'est aussi invraisemblable que si je prétendais que l'article « Nombre » est bien écrit parce que l'article « Vecteur » n'a pas l'affluence escomptée.
3. Il est faux de supposer que nous refusons à l'indéterminée la désignation occasionnelle par le mot « inconnue ». Nous voulons simplement que les deux notions soient représentées sur des articles séparés. Actuellement ces deux notions sont amalgamées et c'est bien dommage.

En conséquence, le premier critère de décision contredit la thèse avancée, tandis que le second est tout sauf judicieux.

Sur les différences de point de vue :

1. Non, le concept développé par Diophante et al-Khawarizmi n'a rien à voir avec l'indéterminée. Dans une équation linéaire réelle, par exemple, l'inconnue est parfaitement déterminée : elle ne peut prendre qu'une valeur. Si je parle de mon voisin, personne ne le connait ici mais il est parfaitement déterminé.
2. L'inconnue n’est pas un objet mathématique, elle désigne un objet mathématique (à l'instar du mot « variable »). Au contraire, l'indéterminée est un objet mathématique mais ne désigne rien, pas même un élément du corps des coefficients.

Sur le PS : pour traiter les inconnues des équations algébriques au sens de la théorie des équations, il faudrait développer un article « Théorie des équations » ou « Équation algébrique », mais pas imposer pas des restrictions à une notion de l'inconnue qui est plus large que cela. Ambigraphe, le 2 décembre 2008 à 10:19 (CET)

Je suis assez d'accord sur la façon d'Ambigraphe d'exprimer la différence entre inconnue et indéterminée.

Je suis aussi assez d'accord pour ce qu'il dit sur racine/solution dans le cadre de l'enseignement, où on évite d'employer deux mots pour la même chose, un même mot pour deux choses, ce qui se fait pourtant en mathématiques comme ailleurs, en fonction du contexte et du public. On peut s'envoyer des références, je doute que Jean-Luc ait entendu parler dans le secondaire de racine d'une équation. Il ne s'agit pas d'être normatif (ce n'est pas de l'enseignement), mais on est pas obligé de commencer dès l'introduction avec un usage plus restreint (en public).

Proz (d) 3 décembre 2008 à 10:08 (CET)

Bonjour Proz,

Ambigraphe propose la définition suivante : le mot « inconnue », employé essentiellement pour désigner une quantité satisfaisant une ou plusieurs équations .... Je ne suis pas certain d'avoir compris exactement le sens qu'il donne au mot quantité. Je l'interprète comme synonyme de valeur c'est à dire nombre. J'imagine que le terme satisfaisant doit signifier que si l'on remplace la lettre x par ce nombre l'équation devient égalité. Cette interprétation est confirmée par sa phrase : Dans une équation linéaire réelle, par exemple, l'inconnue est parfaitement déterminée : elle ne peut prendre qu'une valeur. La définition qu'il propose pour inconnue semble proche de ensemble des solutions de l'équation. Il en conclut : Non, le concept développé par Diophante et al-Khawarizmi n'a rien à voir avec l'indéterminée.

Je partage aussi ton amour de la simplicité. Ambigraphe fait remarquer que si x₀ vérifie une égalité du type ax²+bx+c=0, les programmes scolaires utiliser pour désigner x₀ les termes racine d'un polynôme ou solution d'une équation. Il fait aussi remarquer que le terme de solution est exprimé beaucoup plus tôt au cours de l'enseignement et devrait avoir la préférence, ce qui me semble plein de bon sens. Je crois que l'on peut essayer de faire au plus simple et que nous devrions trouver un compromis qui satisfaira pleinement les différents points de vue.

En conclusion, Je ne suis pas convaincu que le meilleur système soit celui du vote. Il me semble plus important de savoir qui pense exactement quoi, et tout d'abord sur le sens des mots. Ensuite, il me semble utile de trouver, par un travail de source, la position la moins fausse. Personnellement j'avais cru comprendre que tu préconisais une définition différente. Ne crois tu pas plus pertinent pour faire avancer le débat de donner précisément ta définition et de justifier les raisons qui ont forgé ton opinion ? Jean-Luc W (d) 3 décembre 2008 à 11:31 (CET)

Non, l'inconnue ne peut être l'ensemble des solutions, car l'ensemble des solutions est un objet mathématique tandis que l'inconnue est une notion mathématique. En revanche, l'inconnue désigne n'importe laquelle des solutions. Ambigraphe, le 3 décembre 2008 à 20:20 (CET)

Racine

Position de jl

Je propose de procéder par étape et de traiter, dans un premier temps, uniquement ton premier sujet : la signification du mot racine. Une fois un consensus obtenu, nous passerons au point suivant. Tu sembles considérer que : Non. On parle de racine (ou de zéro) d'une fonction, mais de solution d'une équation. Tu indiques que l'usage du mot racine à une équation est aujourd'hui écarté de ce sens par le mot « solution ». Je constate pourtant que cette usage n'est écarté, ni dans les textes didactiques, ni dans ceux traitant de l'histoire des sciences ou de mathématiques de plus haut niveau.

Pour se diriger vers un accord, j'ai deux questions. Penses-tu que les sources doivent trancher dans le cas d'un différent entre deux contributeurs ? Si tel est le cas, pourrais tu m'indiquer celles qui indiquent que l'usage du mot racine pour une équation (algébrique ou encore polynomiale) est maintenant écartée ?

Je te prie d'excuser le terme de lubie, clairement maladroit. En revanche, je suis difficilement convaincu sans référence solide. Loin de moins l'idée de remettre en question ton savoir, mais si tes propos ne concordent pas avec les sources que j'ai lu pour écrire l'article, comme celles présentes dans la boite déroulante, j'ai tendance à placer l'autorité d'un Douady, d'une Peiffer ou des professeurs de l'IREM au dessus de la tienne. Une fois un premier accord obtenu sur la pertinence du mot racine dans le contexte d'une équation algébrique, nous pourrons passer au deuxième point. Avant cela, nous risquons de perdre inutilement du temps. Jean-Luc W (d) 2 décembre 2008 à 12:42 (CET)

Quelques références pour étayer mes propos

• Texte didactique :

MSN : Equation : La source indique que le mot racine s'applique à un nombre et à une équation : Dans une équation algébrique, une valeur de l’inconnue qui vérifie l’équation est une « racine de l’équation ». Je te prie de m'excuser sur l'usage abusif du terme premier sens. Je reste néanmoins perplexe sur le fait qu'une telle source te permette de conclure que l'on ne parle plus de racine d'une équation mais de racine d'une fonction et que l'autre sens a été écarté. Le terme de racine d'une fonction n'est même pas cité.

MSN : équations, théorie des : équations, théorie des, branche des mathématiques qui étudie la nature des racines d’équations polynômiales

Site de l'Université de Lille : Exercice 32 Trouver les racines complexes de l'équation suivante ... cf Exercices

Site du Collège Evariste Galois : ... quand on suppose connues les racines, c'est-à-dire les solutions de l'équation ! Une approche du théorème de Galois

• Texte d'histoire des sciences :

Peiffer : Une histoire des mathématiques ... les mathématiciens cherchent toujours des méthodes de résolution des équations de degré quelconque. Faute de les trouver, des méthodes de résolution numérique sont étudiées ...: règles pour séparer les racines, trouver le nombre de racines réelles,... , règles pour déterminer le signe des racines ... p 113

Irem de Strabourg ... qui permettent de déterminer le nombre de racines positives de chaque équation. cf mathématique arabe au lycée

• Texte de niveau universitaire

Douady sur Galois ... sont les deux racines d'une équation du second degré ... p 324

Un texte de l'ENS sur la théorie des équations ... qu’une équation est résoluble par radicaux (c’est-a-dire, en termes intuitifs, que ses racines s’expriment ...) cf Résolution des équations de degré 5

 

PS : le terme racine d'un nombre est postérieur de 400 ans à celui de racine d'une équation : explication

Le terme racine appliqué à un nombre apparaît en 1557 dans le texte de Robert Recorde The whetstone of witte et dans la phrase : The roote of a square nombere, is called a Square roote selon la deuxième édition de l'Oxford English Dictionary. Le terme radical signifie alors n'importe quel nombre irrationnel. Le premier usage du terme radical au sens moderne est de Johann Heinrich Rahn et date de 1659 dans son livre Teutsche Algebra.

Le terme racine, appliqué à une équation est présent dans les textes de Robert de Chester et de Gérard de Crémone, soit presque 400 ans avant. On le voit ensuite chez Fibonacci en 1202 dans son Liber Abaci (tu peux vérifier par exemple dans Première inconnue).

Le terme de racine appliqué à un nombre ou au moyen age n'a pas de sens, un nombre est un rationnel, Michael Stifel fait parti des derniers à refuser le statut de nombre à un inrrationnel (voir le Peiffer p 103). Un irrationnel n'étant pas un nombre mais une longueur, la racine (ou gizr) apparaît chez Al-Khawarizmi comme la longueur du coté d'un carré construit de 6 manières différentes selon les cas (voir The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra de Rashed p 11 à 21), mais toujours avec un gnomon (l'article algèbre géométrique (histoire) donne un exemple déjà utilisé chez Euclide).

L'équivalent de notre racine carrée ne pourrait avoir qu'un sens géométrique et ne s'appliquerait qu'à un carré de coté quelconque. L'équivalent d'une racine carrée correspondrait à une équation de type (2) pour Al-Khawarizmi, qui ne dispose d'aucun vocabulaire particulier pour ce cas. Ce n'est en aucun cas une fonction, préoccupation bien lointaine de celles du mathématicien arabe.

Dans la résolution d'Al-Khawarizmi, il procède en plusieurs temps, pour trouver le say' (ou l'inconnue) il utilise l'al-jabr (addition de termes), puis l'al-muqabala (soustraction d'autres expresssions) pour ramener l'équation à une forme canonique. A l'aide d'un gnomon il construit une surface contenant un carré appelé mal, la longueur du coté du mal, noté le girz (qui se traduit en racine), est la racine de l'équation initiale. Ainsi le girz, synonyme de say' peut être vu comme le coté d'un carré appelé mal, mais ce n'est en aucun cas l' antécédent d'une opération puissance (les ensembles de départ et d'arrivé ne sont pas les mêmes) et c'est avant tout la racine de l'équation étudiée.

 

Position d'Ambigraphe

1. Débarrassons-nous d'abord d'un raccourci fautif de ma part. Oui, l'expression « racine d'une fonction » est un abus que je ne commettrai plus, même si l'expression renvoie un certains nombre de liens, notamment universitaires, par un moteur de recherche. Le terme « racine » ne s'emploie normalement que pour un point d'annulation d'une fonction polynomiale ou, anciennement, d'une équation polynomiale.
2. Pour répondre à ta question, je suppose que le terme « inconnue » chatouille en priorité les élèves de collège et de lycée. En conviendras-tu ?
   La source la plus logique est donc le bulletin officiel de l'Éducation nationale, auquel se rapportent les enseignants qui abordent cette notion avec leurs élèves. Page 62, dans le programme de troisième, il est bien fait mention de « solutions » et non de racines. En première scientifique, le terme « racine » apparait pour la première fois en dehors de l'expression « racine carrée » mais désigne un point d'annulation d'un trinôme (et pas d'une équation).
   L'usage est donc clairement écarté par les textes officiels. Ce n'est pas mon choix (personnellement je veux bien appeler ça « barreau de chaise » ou « flûte à six trous » si tout le monde tombe d'accord sur ces dénominations) mais c'est un choix qu'on ne peut ignorer. Que tu souhaites écrire des articles pour les docteurs en mathématiques, c'est très bien (personnellement encore, j'aimerais bien aussi) mais fais-le sous le nom de « Théorie des équations » ou « Équation algébrique », pas sous le nom qui intrigue les élèves de l'enseignement secondaire.

En ce qui concerne tes références, je note tout de même que :

• sur le site de l'université de Lille, le terme « racine » est employé une seule fois à la place de « solution » (qui apparait trois fois correctement) ;
• sur le site du collège, le terme « solution » est systématiquement employé (plus de quinze occurrences). Le passage que tu soulignes identifie les racines (sans précision, que j'interprète comme « racines du polynôme ») aux solutions de l'équation, ce qui conforte notre point de vue.

En conclusion, oui, le terme « racine » est donc parfois employé pour « solution » dans une équation polynomiale. En dehors de ce contexte, non, le terme « racine » n'est pas référencé, or l'article « Inconnue » est évidemment destiné à des élèves qui rencontrent des inconnues dans des équations algébriques, mais aussi exponentielles ou trigonométriques, sans parler des équations non numériques comme les équations différentielles ou dans des problèmes de lieu géométrique.

Pour terminer, je te cite la traduction du texte même d'al-Khwarizmi, reprise dans Une histoire de la science arabe par Ahmed Djebbar :

« J'ai découvert que les nombres dont on a besoin dans le calcul sont de trois types : ce sont les racines, les carrés et le nombre seul, non rapporté à une racine ni à un carré. Parmi eux, la racine est toute chose — parmi un, les nombres qui lui sont supérieurs et les fractions qui lui sont inférieures — qui est multipliée par elle-même. Le carré est tout ce qui résulte de la racine multipliée par elle-même. Le nombre seul est tout ce qui est exprimé comme nombre sans rapport à une racine ni à un carré. »

L'acception du terme « racine » comme antécédant du carré est donc bien antérieur à l'expression « racine d'une équation », plus de trois siècles avant que tes Chester et Cremone nous écrivent leurs traités, ne t'en déplaise. Ambigraphe, le 2 décembre 2008 à 22:16 (CET)

Réponse de jl sur la racine

Merci Ambigraphe de ta réponse. Je te propose de rester sur la même ligne. Ne traitons qu'une chose à la fois, en traiter plusieurs risque de nous ralentir plus qu'autre chose.

Restons focalisé sur l'essentiel à savoir : sommes nous d'accord sur la définition du terme racine? J'ai l'impression que nous pensons tout deux que c'est une valeur qui annule l'expression : a_nxⁿ + ... + a₀ = 0. Sommes nous d'accord sur cette définition ? Si tu utilises aussi d'autres termes pour désigner la même chose, zéro d'une fonction, point d'annulation d'un trinôme, racine d'une équation algébrique ou polynomiale, solution de la fonction polynôme ou encore autre chose je n'y vois aucun personnellement aucun inconvénient. L'essentiel est que, tout deux nous donnons le même sens au mot racine.

Nous avons encore une différence d'interprétation, mais beaucoup plus mineur. Elle me semble d'aucune gravité sur l'objectif qui nous anime. Elle porte sur le texte d'al-Khawarizmi, et plus précisément la célèbrissime introduction dont tu cites une phrase, avec une traduction littérale, toujours un peu obscure. Heureusement, elle est suffisamment fameuse et enrichit de suffisamment d'exemples pour pouvoir être éclairer par d'autres traductions qui sont peut-être plus claires. Le site de St Andrew rapporte la teneur de la manière suivante : the equations being made up of three types of quantities namely: roots, squares of roots and numbers i.e. x, x² and numbers. Il cite ensuite des exemples explicatifs comme : Squares and roots equal to numbers, e.g. x² + 10x = 39. Hélas, l'anglais ne facilite pas les choses, on peut encore prendre la traduction de Peiffer qui a plutôt ma préférence : ... il distingue trois sortes de nombres : les nombres simples, qu'il désigne par dirham, l'inconnue qu'il appelle say' (chose) ou gizr quand il s'agit plutôt de la racine de l'équation; et enfin il utilise mal pour le carré de l'inconnue. On trouve encore une bonne explication du texte que tu cites dans Équations du premier et du second degré p 66. Un bon exemple vaut mieux qu'un long discours Des carrés qui égalent des racines donne ax² = bx. Je crains que le terme racine désigne ici la solution d'une équation du second degré et n'ait pas grand chose à voir avec la racine carrée un nombre. L'exemple suivant est-il plus parlant ? Des carrés et des racines qui égalent un nombre donne ax² + bx = c Jean-Luc W (d) 3 décembre 2008 à 01:49 (CET)

Il y a trois erreurs dans la phrase « [une racine] est une valeur qui annule l'expression : a_nxⁿ + ... + a₀ = 0. »

1. La première est une légère faute d'expression, qui peut passer dans une page de discussion mais qui ne devra pas être transposée à l'article : une valeur peut annuler l'expression a_nxⁿ + ... + a₀ (sans égalité), c'est-à-dire satisfaire l'égalité a_nxⁿ + ... + a₀ = 0, mais elle ne peut « annuler une égalité ». Passons sur ce détail.
2. La deuxième erreur est beaucoup plus importante et similaire au quiproquo sur le terme d'inconnue : il ne faut pas confondre objet mathématique et notion mathématique. Une désignation, telles une variable, une inconnue, une racine, un coefficient… ne peut se définir par certaines propriétés. Il n'y a pas de classe des variables ni de classe des racines. Les valeurs qui annulent des fonctions polynômes (disons à coefficients entiers) sont des nombres algébriques et il y a bien un ensemble des nombres algébriques. Ces derniers sont donc des objets mathématiques définis par ce qu'ils sont. Les racines sont définies par ce qu'elles désignent et c'est tout à fait différent.
3. La troisième erreur est le fondement même de notre discussion ici. Non contente d'être une notion, la racine est une notion relative, c'est-à-dire que la définir sans dire par rapport à quoi est un non-sens. C'est un petit peu comme si quelqu'un s'escrimait à définir ce qu'est une dimension par « c'est un cardinal d'une base d'un espace vectoriel », auquel cas cette notion s'identifierait à celle de nombre cardinal.

Hélas donc, nous ne sommes pas encore d'accord sur la définition du terme « racine ». Que penser de celle-ci ?

En mathématiques, une racine d'une fonction polynôme est un point d'annulation de cette fonction. Par extension, une racine d'un polynôme est une racine de la fonction polynôme associée. Le terme est aussi employé depuis le XII^e siècle pour désigner chaque solution d'une équation algébrique.

En ce qui concerne le texte d'al-Khwarizmi, je ne vois à aucun moment contradiction entre les extraits que tu cites et la traduction littérale de son texte, à savoir qu'une racine est ce qui est élevé au carré. Il est clair que le terme désigne à l'origine l'antécédent du carré et non pas l'inconnue. Dans le livre de Djebbar, ces équations ne sont même pas transcrites à l'aide d'une inconnue x élevée au carré comme dans le site que tu indiques, mais à l'aide d'une inconnue X et de sa racine carrée, comme ci-dessous :

$aX+b{\sqrt {X}}=c\ .$

Cordialement, Ambigraphe, le 3 décembre 2008 à 20:17 (CET)

Théorie des équations

La définition utilisée ici d'une racine à l'avantage de l' originalité. Elle possède l'inconvénient d'être inutilisable. Comme tu le sais peut-être, des outils de base de la théorie des équations sont les corps de rupture et de décomposition. Pourrais-tu me dire comment trouver le corps de décomposition de la fonction polynôme définie sur F₂ et qui vaut 1 partout ? Tu ne pourras pas car c'est impossible. En théorie des équations, les seuls polynômes dont il est question sont les polynômes formels comme le montre l'article théorie de Galois, les références sur le net : Théorie de Galois, Corps des racines ou encore les livres sur un aspect de la théorie comme Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions] ou le Corps commutatifs et théorie de Galois de Tauvel. Pour étayer ta définition de racine, pourrais tu me citer un seul livre universitaire qui traite spécifiquement d'un aspect de la théorie des équations et qui considère un polynôme comme une fonction ?

Pour le texte d'Al-Khawarizmi : si je comprend bien ta logique. l'auteur cherche la valeur d'une chose c définit par le fait que quelques carrés de cette chose + quelques fois cette chose = quelques unités, ce que l'on traduit par (1) nc² + mc = q. Il appelle cette chose gizr. Tu remarque que le gizr est la racine carrée de son carré. Tu en déduis que gizr signifie racine carrée du carré de la solution et pour être simple tu traduis gizr par racine carrée ? Je ne suis pas en position de prendre parti sur ton interprétation, mais je te propose de garder celle de Peiffer, Cuénod, Drevous, J J O'Connor, E F Robertson et les autres qui croient que c désigne la racine de l'équation (1) et non pas la fonction racine carrée. Le fait que tu proposes une interprétation créative n'empêche pas les spécialistes de croire que : Par contre traiter des équations oblige à parler de l’inconnue qu’Al Khwarismi dénomme chose (say) ou racine (gizr). Jean-Luc W (d) 4 décembre 2008 à 11:29 (CET)

PS: Si Djebbar utilise la lettre X de cette nature, il est bien maladroit : Les Allemands vont presque tous se rallier à la notation de Rudolff (1525) : initiale ${\mathfrak {R}}$ majuscule de Radix. Le X est une notation condensé du gizr traduit en radix, la notation donne donc la racine carrée de la racine de l'équation. Elle laisse penser que l'auteur recherche non pas la chose mais son carré.

Inconnue

Je continue de penser qu'il ne faut pas traiter plusieurs points à la fois, cela n'accélèrera pas le débat. Je répondrais donc uniquement sur la définition d'inconnue dans ce paragraphe. Je crois de plus, qu'il est important de partir d'une définition précise, même pour un article grand public. Je n'hésiterais donc pas, dans ce paragraphe à utiliser un vocabulaire précis, même s'il n'est pas accessible à la cible.

Ce que j'ai compris de la définition d'Ambigraphe est que l'inconnue se formalise comme l'ensemble des solutions de l'équation. Si tel est le concept sous-jacent, je crois qu'il est inexact.

Ce que j'ai compris de la définition de Proz est : une équation correspond à la recherche d'un antécédent de 0 par une fonction et s'écrit f(x)=0. L'inconnue correspond à une notation habile pour écrire une fonction. L'avantage d'une telle définition est à la fois sa rigueur et sa généralité. Ecrire x = 1 ou 2 devient rigoureux, l'image réciproque de 0 est un ensemble, et décrire un ensemble de cette manière est fondamentalement rigoureux et formellement pas si choquant.

Il existe un domaine ou pourtant la définition de Proz, n'est guère opérationnel, sans pour autant être fausse. Ce domaine est celui de l'équation algébrique. Une équation est dite algébrique si elle est équivalente à une équation polynomiale. Dans ce cas, la méthode de résolution consiste à appliquer le principe dit de la balance. On ajoute, retranche et applique des transformations similaires aux deux membres de l'équation. La propriété essentielle du terme x est d'être compatible avec, dans un premier temps, les opérations plus et multiplier d'un anneau. Ce x n'est pas celui de la variable muette, mais celui des polynômes, quand je multiplie x par x j'obtiens x² et x+x=2x. Le formalisme fonctionnel est lourd et guère explicatif dans le cadre de l'équation algébrique.

Formaliser rigoureusement la méthode de Newton de résolution d'une équation est plus simple à l'aide du formalisme fonctionnel. Il en est de même pour toute recherche d'un zéro d'une fonction dont l'équation différentielle est un cas particulier. Expliciter les travaux d'Al-Khawarizmi sur l'équation du second degré ou ceux de Tartaglia ou de Cardan sur des équations polynomiales ou travailler sur la théorie de Galois ou sur celle des corps de classe est plus simple avec le formalisme de l'équation algébrique. Il est toujours en vigueur et n'est pas supplanté par le concept mis en valeur par Proz. Il suffit d'essayer de résoudre l'équation diophantienne du second degré ou d'essayer de trouver la réponse au Jugendtraum de Kronecker pour s'en persuader.

Sommes nous d'accord sur l'existence des deux formalismes ? et sur le fait qu'aucun n'a supplanté l'autre. Jean-Luc W (d) 3 décembre 2008 à 12:03 (CET)

PS : Le Jugendtraum pourrait très grossièrement s'exprimer comme trouver tous les polynômes irréductibles résolubles par radicaux. Ils ne sont pas nécessairement de degré inférieur à 5. Un peu moins grossièrement on pourrait dire que cela revient à trouver les extensions finies abéliennes d'un corps.

L'inconnue ne se formalise pas comme l'ensemble des solutions d'une équation car l'inconnue n'est pas un objet mathématique. Elle désigne n'importe quelle solution de l'équation et c'est tout à fait différent. Avant que tu n'effaces l'introduction que j'avais proposée, l'article débutait par la définition suivante :

Dans un problème mathématique, et particulièrement en algèbre, une inconnue est un terme dont la valeur n'est pas explicitement donnée mais qui doit satisfaire un certain nombre de conditions. Ces conditions peuvent souvent s'exprimer par des équations ou inéquations, mais elles peuvent être formulées autrement, par exemple dans la construction d'un lieu géométrique.

Je maintiens cette définition, rêvant de pouvoir la préciser davantage en indiquant qu'une inconnue est une variable, mais j'attends de bien comprendre les objections de Claudeh5 à ce sujet. Ambigraphe, le 3 décembre 2008 à 20:58 (CET)

Critique

J'expique ici pourquoi cet article dans l'état me semble problématique. cela dépasse des questions de vocabulaire.

Je crois qu'il y a un problème à vouloir aborder de façon historique des notions qui se sont précisées et clarifiées à une époque récente. Ca donne un article d'histoire peu satisfaisant (gros morceau) et contestable (qui peut croire que les lecteurs lisent jusqu'au bout les articles, et que le début de celui-ci ne peut laisser croire à certains que les égyptiens et les babyloniens résoudraient le problème comme indiqué. Sinon pourquoi en parler ?). Mais ceci peut encore se discuter. Le plus embêtant, c'est le reste, et j'ai l'impression que l'approche historique a induit plus de confusion qu'autre chose.

Un premier exemple : la confusion inconnue/racine me semble créée par l'article, en s'appuyant sur l'origine historique. De plus il ne la dissipe pas si bien que ça. Pourquoi quelque chose d'uniquement déterminé ne serait pas inconnu ? Rsoudre une équation (à l'école, on vous a montré comment faire sur des exemples, sans gloser sur la notion d'inconnue), n'est pas déterminer de façon unique.

Actuellement la notion unificatrice c'est celle de variable (qui n'est plus conçue comme à l'époque de Leibniz et de ses prédécesseurs), avec la distinction variable libre/liée (muette est synonyme de liée), ceci n'ayant un sens que dans un certain contexte. Les outils de la logique mathématique sont parfois trop simplificateurs (heureusement la langue mathématique a des subtilités, comme l'usage du terme "inconnue", qui permettent de s'y retrouver) mais fonctionnent et permettent effectivement de formaliser les maths. Faire fi de ceux-ci ça donne des choses comme "Les identités remarquables ... s'appliquent de la même manière sur l'inconnue" (de la même manière que quoi ? Elles sont déjà écrites avec des variables, il n'y a pas à distinguer ici les inconnues, les identités s'appliquent à tous les élements du support, désignées ou non par des variables, nous ne sommes plus à l'époque de Diophante).

Dans un autre genre : "Écrire x = 1 ou 2, n'est pas rigoureux. Comme 1 est différent de 2, un objet mathématique ne peut à la fois être égal à 1 et à 2" (x= 1 ou 2 est une abréviation pour x= 1 ou x = 2, (x-1)(x-2) =0 si et seulement si x =1 ou x=2 est parfaitement correct). C'est presque du même ordre que dire qu'une porte est ouverte ou fermée n'est pas rigoureux, parce qu'une même porte ne peut être à la fois ouverte et fermée.

Ce qui pousse à la faute dans ces deux cas est un peu le péché originel de l'article : vouloir parler d'une inconnue comme d'un objet, alors que c'est une variable dans un certain contexte.

Je ne détaille pas le paragraphe "variable", arbitraire, et qui utilise de façon aléatoire la notion importante de "variable muette".

Je remarque que dès l'introduction on oublie que l'on peut avoir des inconnues dans un problème qui n'est pas équationnel (inéquation, combinaisons d'équations et d'inéquations, paramètres avec quantification existentielle ou universelle ...). Un article sur "équation" serait plus prudent.

De façon générale Je ne vois pas comment cet article deviendra vraiment satisfaisant. Est-ce le bon point d'entrée pour un article conséquent ? Il faudrait au minimum une référence (synthétique). Je continue de penser que l'on ne s'improvise pas linguiste parce que l'on pratique une langue. Ceci dit, l'article contient actuellement des choses qu'il vaudrait vraiment mieux ne pas laisser (d'autant plus si l'article est fréquenté). Proz (d) 3 décembre 2008 à 10:49 (CET)

Merci Proz pour ces critiques que je partage totalement. Ambigraphe, le 3 décembre 2008 à 21:00 (CET)

la notion d'inconnue comme concept pré-mathématique pour la notion formelle de variable

Désolé Jean-Luc, je ne veux pas disperser encore plus la discussion en mettant mon grain de sel mais au contraire tenter une solution qui pourrait satisfaire chacun, soit 2 articles

Me semble que le terme "inconnu" n'est pas un terme mathématique mais un terme informel métalinguisque comme le sont des termes comme "problème", "solution", "résolution (d'un problème)", "raisonnement".

Il me semble qu'il apparaît 1. dans le langage courant entre mathématiciens qui se comprennent à mi-mots 2. dans l'enseignement à destination des élèves dans un soucis pédagogique 3. historiquement et sans doute sous des vocables différents (indéterminé, solution, racine) avec le sens "truc à trouver" ou "solution du problème".

Ainsi je vois l'intérêt d'un tel article, mais pas en le présentant comme un article sur une notion mathématique précise, comme l'est la notion de "variable", mais comme l'histoire d'une notion, de la même manière que l'on peut faire une histoire de la notion de zéro (qui n'est pas le "0" mathématique) via par exemple l'histoire de la notation numérique, des algorithmes de calcul, de la numérotation par position etc.

Une phrase comme L'inconnue possède des propriétés algébriques, au même titre qu'un nombre de l'article me fait un peu bondir, un peu comme si on disait qu'un problème a des propriétés algébriques. Il me semble plutôt que l'on est là dans la lente élaboration du langage mathématique où à un moment on constate que si on représente le nombre à trouver par un symbole comme x, on peut le manipuler comme un nombre. Ce qui amènera à la fin du 19è siècle à une formulation rigoureuse du langage mathématique avec des termes primitifs comme celui de variable.

En bref me semble que cet article est pertinent (et d'ailleurs très interessant) mais envisagé comme une notion vague, pré-mathématique et ne faisant sens que dans l'histoire des mathématique (ou sa didactique) ... son corrélat formel, anhistorique, proprement mathématique étant la notion de variable. A noter que la notion d’inconnue à l’inverse de celle de variable fait sens dans un contexte où quelqu’un cherche à résoudre qqch (inconnu pour un sujet), donc dans un cadre heuristique.

Ce qui nous ferait donc 2 articles. Peut-être est-ce une solution acceptable par tous. --Epsilon0 ε₀ 3 décembre 2008 à 22:18 (CET)

Bonjour Epsilons :

Je crois en effet qu'il existe deux modélisations de l'inconnue, celle des algébristes, qui étudient les équations polynomiales, et les analystes qui en étudient d'autres comme des équations différentielles. Pour un algébriste, le polynôme est construit à l'aide d'un objet appelé indéterminée et noté X. C'est qui s'additionne, se multiplie et permet de construire un polynôme. Diophante disait que l'inconnue, qu'il appelle arithme est une quantité indéterminée d'unités qui vérifie des propriétés algébriques De même que les parties aliquotes des nombres sont dénommées d'une manière correspondante à ces nombres, tel le tiers correspondant à trois, le quart correspondant à quatre, nous dénommerons aussi les parties aliquotes des nombres renseignés plus haut [les arithmes] d'une manière correspondante à ces nombres. Ainsi, pour l'arithme, nous dirons l'inverse de l'arithme, pour sa puissance, nous dirons l'inverse du carré.

Les didacticiens parlent de l'inconnue comme en parle Diophante et ses successeurs, mais ils ne formalisent pas vraiment le concept. J'avais formellement défini le concept dans un paragraphe qu'Ambigraphe a déplacé dans un autre article nommé Indéterminée. Je dois dire que les quelques tests auquel je me suis livré sur des cobayes ne connaissant pas le concept de l'inconnue décrochait furieusement dès qu'il s'agissait de formalisme.

L'équation pour un analyste se formalise différemment, à travers un langage fonctionnel et l'inconnue est proche du concept de variable, correspondant à une notation et qui n'a rien à voir avec l'inconnue des algébristes. Comme les didacticiens prolixes sur le sujet ne parle jamais de cette idée et qu'elle est bien différente de l'inconnue des algébristes, je n'ai pas parlé de cette idée. Je crois qu'il faudrait un lien, mais comme l'article variable n'offre aucune information à se mettre sous la dent, je ne suis pas si pressé. Jean-Luc W (d) 4 décembre 2008 à 09:14 (CET)

Ok, donc je ne connais pas cet usage précis et contemporain du terme "inconnue" et n'ai donc plus d'avis. Et il est clair que la partie maths dans variable n'apporte pas grand chose. --Epsilon0 ε₀ 4 décembre 2008 à 21:52 (CET)

Est-ce qu'on est pas en train de parler du sexe des anges ? Personne n'a dit inconnue = variable mais pour moi ∑ inconnues ⊂ ∑ variables ; dans le langage mathématique il y a des myriades de concepts mais tous se répartissent en quelques grandes catégories : constantes, variables, signes fonctionnels, opérateurs .... une variable est là comme une case à cocher pas encore cochée, une constante est une case cochée. Une racine (solution) est une constante, donc ce n'est pas une variable et encore moins une inconnue ; l'inconnue est une variable ; une indéterminée est aussi une variable, qui n'est pas une inconnue  ; maintenant une variable complexe n'est pas forcément une variable réelle, etc.... Pourquoi le concept de variable n'aurait pas le même sens si ce qui est à chercher est une plage de valeurs (inéquations), ou encore s'il s'agit de trouver des fonctions (et pas simplement des nombres) ? Ce sont différents genres de variables, mais toujours des variables ..... non ? --Michel421 (d) 4 décembre 2008 à 22:45 (CET)

Le problème c'est que pour la théorie des équations (qui concerne uniquement les polynômes), comme le fait bien remarquer l'l'encyclopedia universalis on n'utilise jamais la notion de variable développée au XVIIe siècle. On utilise un concept très formel et qui correspond à peu de chose près aux idées de Diophante et Al-Khawarizmi. C'est un objet qui se multiplie Xⁿ+X^m=X^n+m. Il ne correspond en rien à la notion de variable qui sert entre autre pour définir les fonctions. Hélas, Diophante qui l'a appelé arithme le décrit comme une quantité indéterminée d'unités et que l'on appelle maintenant indéterminée.

Si on suit ton idée, on fait un article soit disant érudit en contradiction total avec ce que font les IREM, c'est à dire nos didacticiens. Sur l'idée de l'inconnue en tant que variable, personnellement je n'ai trouvé aucune source qui traitait de l'équation et de l'inconnue sous cet angle. J'ai suivi les idées des gens de l'IREM et montré comment l'idée d'arithme permet vraiment de résoudre des équations et simplifie les méthodes du passé. Je doute que l'on puisse en faire autant avec l'idée de variable, elles n'ont jamais permis de résoudre la moindre équation dans ce domaine.Jean-Luc W (d) 5 décembre 2008 à 17:29 (CET)

Comment ça, tu n'as trouvé aucune source pour l'inconnue en tant que variable ? Voici une excellente source là tu dis bien Dans le cas d'une équation, une bonne réponse est obtenue pour une valeur donnée quand, si l'on remplace l'inconnue par cette valeur, on obtient une égalité - alors si une inconnue est remplaçable par une valeur c'est une variable, une variable libre. Je t'accorde cependant qu'il y a des cas où c'est moins évident (inconnues définies comme des scalaires et utilisées dans des matrices, mais ça prendrait beaucoup trop de place). Pour le reste, ça dépend de ce que tu as l'intention de développer, si c'est la partie historique pour moi c'est OK mais il faut le dire dès l'intro et probablement renommer l'article, car l'histoire de l'algèbre dépasse largement l' "inconnue". --Michel421 (d) 5 décembre 2008 à 22:50 (CET)

Variable, inconnue et indéterminée

Discussion transférée dans la page annexe de Variable (mathématiques)

Equations

Retournons néanmoins à nos moutons, l'objectif est ici l'article Inconnue. Mes sources indiquent qu'une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques dont on cherche si elle est vérifiée pour certaine(s) valeurs(s) de la variable appelée inconnue.(voir MSN Encarta) ou encore Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, donc une formule de la forme A = B, où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables, représentées par des lettres. Par extension, une équation conduit à un problème, qui consiste à poser la question : à quelles conditions ces deux expressions sont-elles égales ? Résoudre une équation revient à déterminer ses solutions, qui sont les valeurs des variables (inconnues a priori, d'où le nom d'inconnues donné aux variables) pour lesquelles l'équation est satisfaite lorsqu'on substitue ces valeurs aux variables.En d'autres termes, une équation est une égalité f(x) = g(x), où on a pris pour f et g deux fonctions ayant mêmes ensembles de départ et d'arrivée (voir Encyclopédie Universalis). Ambigraphe imagine une autre définition : le mot « inconnue », employé essentiellement pour désigner une quantité satisfaisant une ou plusieurs équations... Sa définition d'inconnue correspond, à mon sens, à celle d'un individu choisi dans l'ensemble des racines ce qui n'est pas une variable. Je te pose donc la question : Pour toi, sous la forme de sa définition générale, l'inconnue est toujours un individu ou aussi une variable ? Je suis ton conseil et approuve l'idée d'étudier après le cas de l'indéterminée. Jean-Luc W (d) 10 décembre 2008 à 14:09 (CET)

inconnue

De retour après une longue absence (copyright Louis XVIII), je viens aux nouvelles. "En mathématiques, et plus précisément en algèbre l'inconnue est un élément constitutif d'une équation". Bah, je pensais naïvement qu'il y avait des inconnues dans les problèmes, pas que dans les équations. Quand j'écris 3x+4 >7, x est il une inconnue ?D'une manière générale je soutiens la position d'ambigraphe (même s'il ne comprends pas qu'une inconnue n'est pas une variable: ça ressemble à une variable, ça a le goût d'une variable, mais ce n'est pas une variable. C'est comme les nombres de Carmichael, ça ressemble à des nombres premiers, ça a le goût des nombres premiers mais ce ne sont pas des nombres premiers.Claudeh5 (d) 3 décembre 2008 à 23:26 (CET)

à propos de racine

le terme semble venir simplement de l'unique équation x^n=a qu'on résout par x = a^(1/n), c'est-à-dire la racine n-ième de a. Par la suite le terme est généralisé aux équations algébriques parce qu'on savait réduire les équations algébriques de degré 2, 3 et 4 en une ou plusieurs équations de cette forme. Avant qu'Abel et Galois ne mettent leur nez là-dedans, le vocabulaire était fixé. Pour les équations non polynomiales, le terme de racine au lieu de solution est un usage clairement abusif. Deuxièmement, l'approche historique doit faire l'objet d'un article à part parce qu'il embrouille tout sans un clair bénéfice.Claudeh5 (d) 3 décembre 2008 à 23:35 (CET)

Bonjour Claude,

Non, je ne crois pas. Le terme racine vient du gizr d'Al-Khawarizmi, la chose caché appelée racine dans une équation du second degré : « Par contre traiter des équations oblige à parler de l’inconnue qu’Al Khwarismi dénomme chose (say) ou racine (gizr). Ces dénominations vont devenir au Moyen Âge res et radix par l’intermédiaire des traductions en latin du traité d’Al Khwarismi comme celles de Robert de Chester (1145 – traduction IREM de Poitiers, 4 fascicules, 1997) ou de Gérard de Crémone (1114-1187). On les retrouve dans le Liber Abaci (1202) de Léonard de Pise alias Fibonacci. ». Le terme de racine carrée provient Robert de Chester, quatre siècles plus tard. Jean-Luc W (d) 4 décembre 2008 à 08:56 (CET)

Pour la formalisation du concept de l'inconnue, je crois que tu en as deux, celle des algébristes, et celle des analystes. Pour un algébriste, la théorie des équations consiste à étudier les racines d'une équation polynomiale, il ne considère maintenant que des polynômes formels dont il quotiente l'anneau de diverse manières pour trouver des corps de rupture puis de décomposition dont il étudie le groupe de Galois. L'inconnue X est alors une indéterminée.

Pour un analyste, qui cherche par exemple à utiliser la méthode de Newton ou à résoudre une équation différentielle, je n'ai pas étudié la question, mais je crois que Proz a raison. Il modélise son équation par f(x) = 0 et x désigne une variable muette.

Ca, c'est pour les mathématiques actuelles. Pour les ouvrages didactiques et historiques que j'ai consulté, on traite de la résolution de problème du premier ou deuxième degré par une équation ou d'autres méthodes. La partie historique traitée par nos didacticiens de l'IREM s'étend des babyloniens à Viète et l'équation est toujours algébrique. L'inconnue est modélisée par Diophante ou Ak-Khawarizmi. Diophante indique qu'une inconnue ou arithme dans sa langue est "une quantité indéterminée d'unités" disposant de propriétés comme « L'inverse de l'arithme multiplié par le bicarré de l'arithme donne le cube de l'arithme », en bref un concept plus proche des algébristes modernes que de nos analystes.

l'inconnue est muette?

Il faut beaucoup de bonne volonté pour admettre que dans « 100.sin(x/100) - 50 = 0 » la variable x est muette. --Michel421 (d) 4 décembre 2008 à 21:38 (CET)

 : Oui, beaucoup ! un peu trop peut-être ? J'ai corrigé la bévue, merci de la remarque. Jean-Luc W (d) 5 décembre 2008 à 08:41 (CET)

Un article distinct pour Solution (mathématiques)

Beaucoup de matériel dans cet article sur la méthodologie de résolution de systèmes d'équations, mais ne faudrait-il pas créer un article sur le concept de Solution (mathématiques) qui soit un peu plus étoffé que ce qui apparaît sur la page d'homonymie Solution  ? -- LaddΩ parlons! ;) 31 décembre 2008 à 03:01 (CET)

Hum, l'affaire me semble mal embarqué. Le terme inconnue en mathématique a une signification bien précise, même si elle est modélisée différemment selon le contexte. Un lecteur qui clique sur ce mot a une idée de ce qui l'attend. Le terme solution est un terme qui n'est pas véritablement défini, il peut avoir autant de significations que de contextes, nous n'aurons aucune chance de pouvoir répondre à la question que se pose notre lecteur. Je crois que tu as raison, il faut répondre à la question, mais pas dans un article à part, la réponse doit se trouver dans l'article Système d'équations. Je pense que c'est une erreur de créer un lien rouge vers Solution (mathématiques) car ce mot n'a aucune signification précise. Jean-Luc W (d) 31 décembre 2008 à 12:29 (CET)

Le paragraphe "logique"

(J'ai pris la précaution de ne pas aller voir dans l'historique qui l'a écrit avant de poster ici, mais j'irai regarder avec curiosité après qui je viens de vexer) [1], ça va c'est un tough guy il devrait s'en remettre. Touriste ✉ 10 février 2009 à 20:05 (CET).

Ayant été intrigué par l'exemple ( « les fiches de TP de Terminale sont-elles si mal rédigées ? » ) j'ai ouvert la source. Oh surprise, la ligne dont un extrait est sélectionné pour fabriquer la ligne qui ouvre la section ne lui ressemble pas du tout. Je la recopie ci-dessous intégralement :

On définit la fonction $f$ sur $[0,{\pi \over 2}]$ par $f(x)=x-\cos x$. On doit donc résoudre l'équation $f(x)=0$.

C'est quand même assez différent de ce qui est analysé dans l'article : il y a un point au milieu de la ligne. Que la même lettre ait un sens différent dans deux phrases différentes, c'est quand même assez banal et je vois mal comment on pourrait trouver qu'il y a une ambiguïté logique (au delà de la constatation banale et il est vrai en soi intéressante, mais ailleurs, selon laquelle il existe des variables locales et qu'on est pas obligé d'appeler x_1, x_2,..., x_{18495156454},... les variables qu'on manipule au fur et à mesure qu'on vieillit.

Bon du coup je suis quand même très perplexe sur ce paragraphe. Je l'ai remarqué parce que c'était du WP:TI douteux (faire un commentaire de texte d'un texte déformé bof bof), mais une fois que je redescend de mon coup de sang, mais même si quelques notes de ci de là renvoient à des usages de « inconnue » dans des sources variées, l'ensemble du paragraphe me semble quand même franchement du domaine de WP:TI. Ou dit autrement : « apporte-t-il vraiment quelque chose à l'article ? » (accessoirement, des tas de trucs m'y intriguent, la phrase « L'équation P(X) = 0 ne signifie pas que le polynôme P est nul, mais que l'on recherche les racines du polynôme P. » ben glups quoi, sauf un contexte spécifique je vois mal pourquoi elle ne voudrait pas dire que P est nul ? Touriste ✉ 10 février 2009 à 20:01 (CET)

Réponse

Je propose les différentes sources pour justifier mon TI. A toi de me dire si elles te semblent convaincantes :

« équations, égalité entre deux expressions mathématiques dont on cherche si elle est vérifiée pour certaine(s) valeurs(s) de la variable appelée inconnue. Une équation peut comporter une ou plusieurs inconnues. Le plus souvent, on désigne ces inconnues par des lettres, comme dans les équations : $x^{2}+x-4=8;y=sinx+x,ou3y=logx$. Suivant le nombre d’inconnues qu’elle contient, l’équation est à une, deux, trois inconnues. On dit qu’une équation est vérifiée, ou satisfaite, pour certaines valeurs des inconnues si, lorsque les inconnues sont remplacées par ces valeurs, les expressions situées de part et d’autre du signe égal sont équivalentes. »

« Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, donc une formule de la forme $A=B$, où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables, représentées par des lettres. Par extension, une équation conduit à un problème, qui consiste à poser la question : à quelles conditions ces deux expressions sont-elles égales ? Résoudre une équation revient à déterminer ses solutions, qui sont les valeurs des variables (inconnues a priori, d'où le nom d'inconnues donné aux variables) pour lesquelles l'équation est satisfaite lorsqu'on substitue ces valeurs aux variables. En d'autres termes, une équation est une égalité $f(x)=g(x)$, où on a pris pour f et g deux fonctions ayant mêmes ensembles de départ et d'arrivée. »

« Une équation algébrique (à une inconnue X) s’écrit :

$a_{d}X^{d}+a_{d-1}X^{d-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=0\;$. »

Cela te semble-t-il justifier mon TI ? Jean-Luc W (d) 10 février 2009 à 20:40 (CET)

PS : J'ai vu tes remarques sur équations, je réfléchis et j'en tiens compte. Jean-Luc W (d) 10 février 2009 à 21:46 (CET)

D'accord avec Touriste : la citation originale est correcte et non ambiguë, l'extrait ne l'est pas. De plus, outre la confusion entre formalisme et précision, la traduction proposée (quantification universelle) est discutable, je préfère l'original. Je fais la même analyse que Touriste : portée délimitée par la ponctuation, et par le "résoudre l'équation" (qui ne peut se rapporter qu'à x, sinon on dirait résoudre l'équation en x ce qui est non ambigu) qui indique bien que x n'est plus le même. C'est embêtant de conclure que (1) est parfaietement rigoureux (on ne dit pas que c'est une définition, le domaine de f n'est pas indiqué). C'est embêtant de dire que le signe égal indique généralement une proposition vraie (penser par exemple à une équivalence entre égalité, mais il y a une foule d'exemples). C'est embêtant de dire que P(X)=0 ne signifie pas en général que P est nul (c'est un problème bien connu des enseignants, on note parfois différemment Le zero des polynômes et celui des scalaires, mais enfin l'abus est fréquent). Vu l'intitulé du paragraphe, il vaudrait mieux éviter une phrase comme une << affirmation, ou encore en terme plus logique, ... une proposition vraie >> (je vous assure que la logique peut s'occuper des affirmations, qu'elle distingue des propositions). Tout le paragraphe pourrait se résumer à : une même variable x peut être utilisée pour définir une fonction ou pour poser une équation avec l'exemple correct. La réponse de Jean-Luc ne répond en rien aux objections sur la suite.

Je n'ai pas lu en détail, mais au paragraphe précédent une phrase comme << les algébristes définissent un objet qu’ils notent souvent X et qu’ils appellent indéterminée >>, avec une référence qui permet assez peu de comprendre, d'autant qu'elle n'utilise pas le mot "indéterminée", il serait peut-être plus clair de parler de polynômes formels (et on insiste plutôt sur les structures que sur les "objets") il me semble. On trouve aussi dans la définition du cas général << Dans ce cas, l'inconnue est exprimée avec la lettre x, mais sa nature mathématique n'est plus celle du paragraphe précédent, on utilise ici le terme de variable >> qui est directement contredite par la note 13 qui suit (le "nom d'inconnue donnée aux variables", embêtant si la "nature mathématique" est différente). Et qu'est-ce que la nature mathématique d'une inconnue ou d'une variable ?

une discussion plus intéressante serait sur la signification de "résoudre" (qui n'est pas si claire qu'elle parait d'après la définition d'Encarta, même s'il faut commencer par ça, et même si là aussi le TI guette peut-être).

Je signale également que les articles d'universalis ont des auteurs, une date. Pour les articles d'Encarta, apparemment non, mais doit-on les prendre comme référence (celui cité parle d'"équation conditionnelle", vous dites ça vous ?). Proz (d) 11 février 2009 à 00:57 (CET)

J'imagine qu'Encarta peut être choisi pour référencer une information qui n'amène aucune question, mais dans un cas plus difficile la référence paraît plus douteuse. Je m'en vais donc corriger le texte en fonction de l'Universalis. Jean-Luc W (d) 11 février 2009 à 09:20 (CET)

Vu les nombreuses objections (là c'était une question, sur le soin à apporter au choix des sources, je n'ai pas de doute sur la partie qui est citée, mais si on suit le lien on trouve aussi autre chose), je propose plutôt de supprimer le paragraphe qui n'est pas nécessaire. Les questions sur les autres paragraphes restent. Proz (d) 11 février 2009 à 20:08 (CET)

Ce qui est relevé est suffisamment gênant (cf. ci-dessus) pour ne pas le laisser traîner dans l'article : je supprime. Proz (d) 14 février 2009 à 17:51 (CET)

question idiote comme d'habitude

Je lis "Dans le cas d'une équation, une bonne réponse est une valeur donnée qui, quand on substitue l'inconnue par cette valeur, transforme l'équation en égalité". Quelle sens peut bien avoir cette phrase puisque, je vous le rappelle, vous avez décidé qu'une égalité pouvait être vraie ou fausse ?Claudeh5 (d) 22 février 2009 à 23:01 (CET)

Wikipédia:N'hésitez pas ! quand vous voyez un truc pas clair. J'ai modifié quelque chose qui, en effet, pouvait ne pas être compris par tout le monde (encore que le contexte peut aider...) [2]. Touriste (d) 22 février 2009 à 23:06 (CET)

Relecture

J'ai reformulé ou repris largement le reste de ce que je contestais une section au dessus (en tenant essentiellement de coller aux sources indiquées). Cependant les polynômes formels ont forcément pour origine le maniement formel de l'inconnue dans les équations algébriques. Il y a déjà un petit quelque chose sur Al Karagi (et j'ai ajouté Al-Samawal). Un paragraphe à ce sujet sur l'utilisation des solutions imaginaires (pour l'équation du 3ème degré), qui était une manipulation purement formelle, aurait probablement un sens (mais une interprétation dans ce sens demande une source).

Plus généralement : l'article semble surtout à développer dans le registre historique. Certains des items de la première partie prennent leur sens dans la partie "histoire" (mais c'est mieux de les avoir introduit avant).

Les sections sur la fausse position, l'algèbre géométrique résolvent les mêmes problèmes que ceux du début : très bien, mais l'organisation de l'article devrait mieux le mettre en valeur.

Je ne suis pas convaincu qu'une section sur les identités remarquables soit nécessaire.

La section "Opérations usuelles" ne me convainc pas vraiment : c'est insuffisant car on a besoin des expressions par exemple pour toute expression comportant une variable (ce qui est dit dans le cas de la distributivité). La façon d'exprimer les choses est curieuse (et pas de source). De plus il n'y a pas à distinguer pour ces propriétés les inconnues des variables en général.

Sur la partie historique :

• Diophante mériterait un développement sur l'usage de l'arithme (en quoi ce n'est pas encore notre inconnue).
• Il y a je crois des imprécisions sur les math. arabes, j'ai des doutes pour une phrase comme (Al Kharizmi) "Son apport essentiel consiste à symboliser l'inconnue par une lettre et à introduire une notation positionnelle des nombres issues des indiens." Il me semble qu'il est remarquable qu'il justifie par exemple toutes ses opérations algébriques de façon géométrique (une des premières synthèses entre tradition axiomatique et calculatoire). Je ne corrige pas parce qu'il faudrait voir plus avant (et une source précise). Les comparaisons avec Diophante sont au minimum à sourcer.

Il y a un problème plus général de délimitation du sujet : le sujet peut facilement déborder vers les équations (début, partie historique). Proz (d) 15 février 2010 à 03:37 (CET)

Usage de X pour l'inconnue

Je retire ces phrases : en intro "Le symbole X est une déformation du initiale de Radix le terme latin désignant racine", et dans la section "Assimilation européenne" "Le symbole X est une déformation du $\scriptstyle {\mathfrak {R}}$ initiale de Radix le terme latin désignant racine", avec une source ... qui n'en dit pas un mot. J'ai cherché et rien trouvé dans ce sens. Il est exact que l'on a noté de la même façon la racine et l'inconnue, voir http://irem.univ-poitiers.fr/irem/publicat/brochure/histoire_des_symboles/HIST_SYMB_p27-30.pdf le choix de x, y, z pour les inconnues vient je crois de Descartes, qui lui même aurait pu être influencé bien-sûr ... Bref pourquoi pas, mais il faudrait des sources.

Par ailleurs il y a une autre version ici Al-Khawarizmi : "Le mot "shay" (šay) - littéralement « chose » - utilisé par Al-Khawarizmi, transcrit en xay en espagnol ancien, est à l'origine de l'utilisation de X dans une équation pour désigner l'inconnue" Celle-ci est reprise par pas mal de sites web, par une des sources du présent article, mais sans "vraie" source historique (expliquant comment le castillan a eu une telle influence par ex., il me semble pas que l'on soit passé par l'espagnol pour traduire les textes des mathématiques arabes).

C'est un point absolument mineur par ailleurs, dans le doute mieux vaut ne rien mettre, au moins ici. Proz (d) 11 mars 2010 à 00:02 (CET)

Je viens d'ajouter l'origine de ce symbole, avec la source adéquate.Djiboun (discuter) 10 juin 2018 à 09:57 (CEST)