Système d'équations
Un système d'équations est un ensemble d'équations, utilisant les mêmes variables ou inconnues ; une solution est l'affectation d'une valeur à chacune de ces variables, de telle façon que toutes les équations du système soient satisfaites simultanément (s'il y a n inconnues, une solution est donc un n-uplet de valeurs particulières des inconnues).
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Dans la vie courante et en sciences, les phénomènes dépendent le plus souvent de plusieurs paramètres. Pour modéliser ces phénomènes, les relations entre ces paramètres sont traduites en équations, conduisant à un système d’équations à plusieurs inconnues, dont la résolution est recherchée au moyen de méthodes mathématiques (le développement de ces méthodes est un des objets de la recherche mathématique).
Exemples
modifier- Un exemple élémentaire de système d'équations linéaires est :
- On peut également former de systèmes d'équations non linéaires :
- Exemple de système non linéaire de 2 équations à 2 inconnues sans solution réelle :
Le système n’a donc aucune solution réelle, mais deux solutions dans l’ensemble des nombres complexes, qui correspondent aux deux couples possibles formés des 2 solutions complexes conjuguées ( et ) de l’équation du second degré ci-dessus. Ce nombre de solutions résulte d’une particularité du système d’équations, qui reste inchangé par permutation des inconnues.
- Une autre catégorie de systèmes, très utilisés en physique, sont les systèmes d'équations différentielles. L'exemple suivant est un système dynamique différentiel linéaire du premier ordre, appelé système dynamique de Lorenz :