Discussion:Formule de Leibniz

Coefficient binomiaux

La notation $C_{n}^{k}$ pour les coefficients binomiaux a disparu des programmes officiels de l'Education Nationale en France depuis plusieurs années, au profit de $n \choose k$. Theon 9 février 2006 à 13:20 (CET)

La version francophone de Wikipédia propose une encyclopédie en langue française et non une encyclopédie de la France. Le contenu de Wikipédia n'a pas à calquer sur l'Enseignement d'un pays. Le contenu de cet article n'a pas non plus à se limiter aux programmes officiels de l'Education Nationale en France, dont le contenu dépend de choix politiques. Par contre, la notation que vous proposez des coefficients binomiaux est meilleure en ce sens que c'est la notation à ma connaissance la plus couramment utilisée dans le monde. A confirmer par d'autres contributeurs. Ekto - Plastor 15 septembre 2007 à 18:18 (CEST)

Théorèmes, Règles et Formules de Leibniz

Ce serait intéressant de créer une page d'homonymie à l'instar de Règle de Leibniz (c'est moi qui l'ai créée mais je me rends compte qu'on pourrait l'étoffer) qui reprendrait toutes les "identités" au sens large portant le nom du mathématicien, ça aidera peut être l'utilisateur à trouver ce qu'il cherche !? Thibaut Liénart (d) 29 juillet 2009 à 10:04 (CEST)

Formule de la dérivée - départ de récurrence

Sans chipoter, mais pour faire au mieux...

Il existe plusieurs choix de présentation et de démonstration. Pour l'instant l'égalité est donnée sans quantificateur ce qui laisse supposer que la propriété est vraie pour tout entier n

• la version jusqu'au 28 novembre et la version actuelle (29 nov après midi) démarrait la récurrence à n=1 et ne démontrait la propriété que pour les entiers strictement positifs
• La formule étant valable pour n=0, il était tentant de commencer la récurrence à n = 0 mais on est alors amené à parler de $\sum _{i=1}^{0}$ ce qui est en général déconseillé. Une convention (?) veut que, pour n > m, $\sum _{i=n}^{m}u_{i}=-\sum _{i=m+1}^{n-1}u_{i}$ et donc $\sum _{i=1}^{0}u_{i}=0$ mais je me vois mal expliquer ici une telle convention et je préfèrerais m'en passer.
• La version du 29 novembre au matin consistait à vérifier la propriété pour n= 0 et la démontrer par récurrence pour n strictement positif, mais la présentation n'en était pas heureuse (vérification mise dans la démonstration par récurrence)

Anne, tu dis que la récurrence peut commencer à n = 0. Vois-tu un moyen de le faire sans faire appel à la convention évoquée plus haut? Si oui, ce serait la meilleure solution. Sinon, on peut garder la version actuelle mais il faudrait alors indiquer qu'elle démontre l'égalité pour les entiers strictement positifs. HB (d) 29 novembre 2011 à 14:48 (CET)

Tu fais bien d'expliciter pas comme moi ! je précise, un peu tard, mais au cas où : « vain chipotage » était de l'auto-dérision, ça peut servir aux suivants. Je ne connaissais pas ta convention mais j'en connaissais 2 autres permettant de démarrer la récurrence à 0 : écrire $\sum _{1\leq i\leq 0}$ au lieu $\sum _{i=1}^{0}$ (cf Somme vide), ou même carrément (ce qui simplifie et raccourcit la preuve) écrire toutes les sommes sur ℤ, mais en remarquant qu'elles sont en fait finies par nullité de la plupart des coefficients binomiaux :

$(fg)^{(n+1)}=\left(\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\binom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k)}\right)'=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\binom {n}{k}}f^{(k+1)}g^{(n-k)}+\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\binom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k+1)}$

$=\sum _{l\in \mathbb {Z} }{\binom {n}{l-1}}f^{(l)}g^{(n+1-l)}+\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\binom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n+1-k)}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(k)}g^{(n+1-k)}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\binom {n+1}{k}}f^{(k)}g^{(n+1-k)}$

Mais j'avais renoncé à mes préférences esthétiques parce qu'elles risquent d'offenser le lecteur et que la formule pour n=0 est sans intérêt : peut-être serait-il plus sage de préciser n>0 dès l'énoncé ? Anne Bauval (d) 29 novembre 2011 à 21:46 (CET)

p.s. et pour ça ?

Concernant la convention (?) tout était dans le point d'interrogation. Mais j'aime bien ta version avec la somme sur Z tout en la jugeant en effet un peu déroutante. Préciser n> 0 dès le début est effectivement probablement la solution la plus sage. Pour le reste, je te réponds là-bas. HB (d) 30 novembre 2011 à 13:36 (CET)

La démo est maintenant, comme convenu, dans Règle du produit et avec récurrence commençant à n=1. Mais en y repensant suite à cette modif d'aujourd'hui, voici une façon de la rédiger, qui permet de démarrer à n = 0 donc fournit « la meilleure solution » demandée ci-dessus :

${\begin{aligned}(fg)^{(k+1)}(x)&=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}f^{(k+1-i)}(x)g^{(i)}(x)+\sum _{j=1}^{k+1}{\binom {k}{j-1}}f^{(k+1-j)}(x)g^{(j)}(x)\\&=\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {k}{i}}f^{(k+1-i)}(x)g^{(i)}(x)+\sum _{j=0}^{k+1}{\binom {k}{j-1}}f^{(k+1-j)}(x)g^{(j)}(x)\\&=\sum _{i=0}^{k+1}\left({\binom {k}{i}}+{\binom {k}{i-1}}\right)f^{(k+1-i)}(x)g^{(i)}(x)\\&=\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {k+1}{i}}f^{(k+1-i)}(x)g^{(i)}(x).\end{aligned}}$

Anne (d) 21 octobre 2012 à 14:16 (CEST)

Oui, s'il faut vraiment se résoudre à faire figurer la propriété en commençant à n=0, cette version conviendrait mais je reste sceptique sur le gain effectif: pour montrer que la formule est valable pour le cas marginal n= 0 on est obligé de parler de fonction dérivable (sic) à l'ordre 0, on est obligé d'introduire les coefficients binomiaux ${\binom {k}{i}}$ pour i entier quelconque, en précisant que pour i négatif ou strictement plus grand que k, ce coefficient est nul. Bref beaucoup d'acrobaties pour un gain presque nul.

Mais quelle que soit notre décision finale il faut réagir assez vite car pour l'instant il y a un hiatus entre l'énoncé de la propriété et sa démonstrationHB (d) 21 octobre 2012 à 15:20 (CEST)

Même avis que l'an dernier : en dépit de mes goûts personnels, je vote, comme toi, pour commencer à n=1. Anne (d) 21 octobre 2012 à 19:04 (CEST)

p.s. Le seul vrai coût de ma démo était d'utiliser que les ${\binom {k}{i}}$ sont définis pour i quelconque (et vérifient encore Pascal) car, comme le fait remarquer aujourd'hui Dfeldmann dans les 2 articles concernés (à 16h14 et 16h17) on est de toutes façons obligés de parler des dérivées zéro-ièmes, qui interviennent dans la formule même pour n>0.

Détermination du nombre π par l'utilisation de la série alternée

Bonjour,

la page de la formule de Leibniz est connectée à la page anglophone "en:Leibniz formula for π" qui indique la façon dont peut être utilisée la série alternée de Leibniz pour déterminer le nombre π, et c'est par cette page que je suis arrivé sur cette page francophone.

J'avais appris qu'une "célèbre série Grégory-Leibniz" permettait de déterminer π. Mais, même si l'expression de cette formule figure sur cette page, j'ai eu un peu de mal à faire le lien avec ce que je recherchais.

C'est peut-être réducteur par rapport à l'utilité plus large des formules et règles de Leibniz, mais cette série alternée fournit une méthode simple de trouver une approximation assez précise de π. Serait-il possible de faire paraître une référence à ce moyen de déterminer π dans le paragraphe relatif à la série alternée ? Une petite ligne du genre : " Cette série peut être utilisée pour déterminer le nombre irrationnel π." ... ou quelque chose permettant aux non-initiés aux mathématiques de percevoir l'utilité des travaux de Leibniz dans des choses très concrètes.

Ou bien créer une section "Applications pratiques de la formule de Leibniz" peut-être ? On y présenterait des domaines dans lesquels on utilise cette formule (comme outil mathématique par exemple, pour (tenter de) résoudre des problèmes plus complexes (qu'on pourrait fournir en lien) et les applications courantes qui en sont faites (pour le calcul de π en particulier) .

Je ne crois pas avoir l'expertise nécessaire à la rédaction de ces éléments, mais ce serait bien que l'on puisse discuter de la pertinence de cette requête.

Avec tous mes remerciements pour vos efforts de transmission du savoir. --Jibe.dodemont (discuter) 18 juillet 2016 à 23:20 (CEST)

Bonjour, désolée mais votre ajout d'aujourd'hui (algorithme et code pour cette approximation de π) n'est pas encyclopédique. On pourrait à la rigueur ajouter, dans l'article Série alternée, quelque chose du genre de en:Alternating series#Approximating sums. Anne, 30/4/17

Il y a un problème plus grave : cette série est remarquablement inefficace pour calculer Pi. Je suggérerais plutôt, dans ce contexte, un lien vers la formule de Machin.--Dfeldmann (discuter) 30 avril 2017 à 16:26 (CEST)

Pour qui sont ces serpents ?

Une modif récente attire mon attention sur l'item «  en algèbre linéaire, la formule de Leibniz fournit une définition du déterminant d'une matrice comme une somme alternée sur ses serpents ». Jamais vu cette expression. Je me demande si en anglais il ne s'agirait pas du plumber's snake, c'est-à-dire du furet (des plombiers). Y a-t-il un terme un tant soit peu utilisé en français ? Sinon je pense qu'il faudrait supprimer (pas l'item, mais la référence aux serpents). — Ariel (discuter) 14 juin 2018 à 07:42 (CEST)

Ektoplastor, qui a introduit cette expression en 2007, pensait plus probablement au lemme du serpent, mais effectivement, elle est à supprimer. Anne, 9 h 48