Derrick Lehmer

mathématicien américain
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Derrick Henry Lehmer est un mathématicien américain, spécialiste de théorie des nombres connu pour ses tests de primalité, né le à Berkeley (Californie) où il est mort . Il a aussi posé le problème qui porte son nom (problème de Lehmer) : si n ≡ 1 mod φ(n), n est-il nécessairement premier ?

Derrick Lehmer
Derrick Lehmer en 1984 (coll. MFO).
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Œuvres principales

Biographie

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Son père Derrick Norman Lehmer (1867–1938) a créé des tables de nombres premiers et des tables de factorisations à l'aide de calculatrices mécaniques. Lui-même étudie d'abord la physique à l'université de Californie à Berkeley, où son père est professeur de mathématiques. En tant qu'étudiant, il travaille sur la mise en œuvre d'algorithmes de factorisation pour son père à l'aide de calculatrices à cartes perforées, assisté de sa future épouse, Emma Markovna Trotskaya, qui étudie également à Berkeley. En 1927, il obtient son BA en physique et commence à travailler à un doctorat avec Leonard Eugene Dickson à Chicago, mais il change de directeur de recherche pour Jacob David Tamarkin à l'université Brown à Rhode Island, où il obtient son doctorat en 1930.

Il est ensuite au California Institute of Technology avec une bourse d'État en 1930/31, puis à l'université Stanford et à l'Institute for Advanced Study de Princeton (New Jersey) pendant un an avant d'obtenir un poste de professeur associé à l'université Lehigh. À l'exception d'une visite en Angleterre en 1938/39 où il rend visite à Godfrey Harold Hardy, John Edensor Littlewood, Harold Davenport, Kurt Mahler, Louis Mordell et Paul Erdős, lui et sa femme restent à Lehigh jusqu'en 1940 , lorsqu'il obtient un poste à son université d'origine, Berkeley. Pendant les années de guerre, sa femme et lui travaillent comme opérateurs de l'ENIAC sur le Aberdeen Proving Ground de l'armée américaine : le jour pour les calculs balistiques, la nuit pour des calculs en théorie des nombres. Lorsqu'il refuse le serment de loyauté imposé par Joseph McCarthy à Berkeley en 1950, il perd brièvement son emploi, qu'il remplace en travaillant pour le National Institute of Standards and Technology. Après sa réintégration, il reçoit divers distinctions : il est vice-président de l'American Mathematical Society et « gouverneur en général » de l'Association for Computing Machinery 1953-1954.

De 1954 à 1957, Lehmer dirige le département de mathématiques de l'université de Californie à Berkeley. En 1958, il est conférencier invité au Congrès international des mathématiciens d'Édimbourg (Discrete variable methods in numerical analysis). En 1972, il prend sa retraite. Il a reçu un doctorat honorifique de l'Université Brown en 1980.

Recherche

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Lehmer est un pionnier dans l'utilisation des ordinateurs et des méthodes numériques générales en théorie des nombres. Certaines de ses contributions sont listées ci-dessous.

Test de primalité

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Il a amélioré le test de primalité de Lucas d'Édouard Lucas et d'autres méthodes pour prouver la primalité des entiers naturels : c'est le « test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne », lequel porte leur nom[1],[2].

Paires de Lehmer

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Il a également été l'un des premiers à tester électroniquement l'hypothèse de Riemann. Ce faisant, il découvre des zéros étroitement voisins de la fonction zêta de Riemann, qui sont maintenant appelés paires de Lehmer[3].

Machines de criblage

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À la suite de son père[4], Lehmer construit divers dispositifs[5] pour les méthodes de crible afin de calculer une solution de certaines congruences en théorie des nombres, principalement pour l'analyse des facteurs premiers ; les premières constructions sont faites en 1926 avec des chaînes de vélo, en 1932 avec des engrenages optiques (dispositif exposé à l'Exposition universelle de 1933 à Chicago en 1933-34), en 1936 avec des bandes de pellicule de 16 mm, en 1966 un dispositif plus élaboré appelé « Delay Line Sieve » (aussi « Dick Lehmer's Sieve ») DLS-127, 1969 DLS-157, 1975 Shift Register Sieve SRS-181, et il programme les méthodes du crible sur les ordinateurs SWAC, IBM 7094 et ILLIAC IV.

Algorithme d'Euclide

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En 1938, il développe une version accélérée de l'algorithme d'Euclide pour les très grands entiers[6]. En 1959, il améliore la formule de l'astronome Ernst Meissel pour le nombre de nombres premiers   inférieurs à   et calcule avec sa méthode le nombre  . Il s'avère que sa valeur est trop grande d'une unité[7].

Développement cotangent et constante de Lehmer

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Lehmer établit en 1938 que tout nombre réel positif x, il existe une unique suite d'entiers positifs (bk)k vérifiant[8],[9]

 

telle que :

 

Cette série est appelée développement en cotangente continue de Lehmer.

La constante de Lehmer   est le nombre réel dont le développement en cotangente continue de Lehmer converge le plus lentement ; il correspond au cas b0 = 0 et où la condition sur les entiers est dans le cas d'égalité.

Fonction tau de Ramanujan

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Lehmer a étudié la fonction tau de Ramanujan qui est la fonction   de Srinivasa Ramanujan définie par

 

et formule en 1947 la conjecture de Lehmer selon laquelle   ne s'annule pour aucun entier naturel  [10].

Algorithme de Lehmer-Schur

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L'algorithme de Lehmer-Schur est une méthode pour isoler les zéros d'un polynôme dans le plan complexe[11]. Elle repose sur un critère pour déterminer le nombre de zéros du polynôme dans un disque de centre et de rayon donnés et sur une généralisation systématique de l'imbrication d'intervalles[12].

Moyenne de Lehmer

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Une méthode paramétrique de calcul de la moyenne de nombres non négatifs qui fournit certaines des moyennes les plus courantes dans des cas particuliers est appelée moyenne de Lehmer.

Problème de Lehmer

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Le problème de Lehmer[13] est un problème encore non résolu qui concerne les zéros d'un polynôme. Il se formule ainsi : pour tout polynôme à coefficients entiers, dont tous les zéros sont à l'extérieur du cercle unité, existe-t-il une borne inférieure    est la mesure de Mahler ?

La plus petite mesure trouvée à ce jour concerne un polynôme de degré 10 et vaut  . Ce nombre s'appelle le nombre de Lehmer[14].

Problème du totient

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Le problème du totient de Lehmer[15],[16] fait aussi partie des questions faciles à formuler mais encore ouvertes : Existe-t-il un entier naturel composé   tel que l'indicatrice d'Euler   vérifie   ? Un tel entier   serait un nombre pseudo-premier remarquable, en revanche l'inexistence d'un tel entier aurait pour conséquence la validité du critère  pour les nombres premiers.

Matrices de Lehmer

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Les matrices symétriques à éléments rationnels, appelées matrices de Lehmer[17] sont des matrices dont les inverses sont des matrices tridiagonales avec des éléments strictement négatifs sur les deux diagonales non principales. Elles peuvent être spécifiés analytiquement et peuvent être utilisés pour tester des programmes d'inversion numérique.

Code de Lehmer

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Une bijection entre une permutation et un entier positif dans un système de numération factorielle est appelée code de Lehmer[18].

Les « Cinq de Lehmer »

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Les cinq de Lehmer sont les cinq nombres naturels 276, 552, 564, 660, 966 inférieurs à 1 000 pour lesquels le comportement asymptotique de leur suite aliquote (la suite de la somme itérée de tous leurs diviseurs propres) n'est pas encore déterminée[19].

Chaînes de Cunningham

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La recherche de chaînes de Cunningham remonte également à Lehmer. Ce sont des suites de nombres premiers dans lesquelles des éléments consécutifs vérifient  . La motivation vient des tests de primalité de type Lucas, où pour tester si   est premier, on doit factoriser  . Lehmer a trouvé trois de ces chaînes de sept nombres premiers où le plus petit nombre premier est inférieur à  [20].

Direction de thèses

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Lehmer a été directeur de thèse de Tom Apostol, John Brillhart, Ronald Graham, David Singmaster, Harold Stark et Peter Weinberger, entre autres.

Publications complémentaires

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Notes et références

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  1. (en) Derrick H. Lehmer, « An extended theory of Lucas' functions », Ann. Math., 2e série, vol. 31,‎ , p. 419-448 (JSTOR 1968235).
  2. (en) Derrick H. Lehmer, « On Lucas' test for the primality of Mersenne numbers », J. London Math. Soc., vol. 10,‎ , p. 162-165 (lire en ligne).
  3. George Csordas, Wayne Smith et Richard S. Varga, « Lehmer pairs of zeroes and the Riemann  -function », Procedings of Symposia in Applied Mathematics, American Mathematical Society, vol. 48,‎ , p. 553-556.
  4. Derrick N. Lehmer, « Hunting big game in the theory of numbers », Scripta Mathematica, vol. 1,‎ , p. 229–235 (lire en ligne).
  5. Michael R. Williams, « Lehmer Sieves »
  6. Derrick H. Lehmer, « Euclid’s algorithm for large numbers », Amer. Math. Monthly, vol. 45,‎ , p. 227–233.
  7. Eric Bach et Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory, Vol. I, MIT Press, , p. 300
  8. (en) Derrick H. Lehmer, « A cotangent analogue of continued fractions », Duke Mathematical Journal, vol. 4, no 2,‎ , p. 323-340 (DOI 10.1215/S0012-7094-38-00424-7)
  9. T. Rivoal, « Propriétés diophantiennes du développement en cotangente continue de Lehmer », Monatshefte für Mathematik, vol. 150,‎ , p. 49–71 (lire en ligne)
  10. Derrick H. Lehmer, « The vanishing of Ramanujan's function τ(n) », Duke Math. J., vol. 14, no 2,‎ , p. 429–433 (DOI 10.1215/s0012-7094-47-01436-1, zbMATH 0029.34502).
  11. Derrick H. Lehmer, « A machine method for solving polynomial equations », Journal of the ACM, vol. 8,‎ , p. 151-162 .
  12. Issai Schur, « Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind », Journal Reine Angew. Math., vol. 148,‎ , p. 122–145 (notamment p. 134) (lire en ligne).
  13. Michael Mossinghoff, « Lehmer's Problem ».
  14. Eriko Hironaka, « What is Lehmer’s number? », Notices of the AMS, vol. 56, no 3,‎ , p. 374-375 (lire en ligne).
  15. William D. Banks, C. Wesley Nevans et Carl Pomerance, « A remark on Giuga’s conjecture and Lehmer’s totient problem », Albanian J. Math., vol. 3, no 2,‎ , p. 81-85 (zbMATH 1219.11003, lire en ligne).
  16. Richard G. E. Pinch; A note on Lehmer’s totient problem Poster à la conférence ANTS VII (2006).
  17. Derrick H. Lehmer, « Matrix paraphrases », Linear and Multilinear Algebra, vol. 28, no 4,‎ , p. 251–264.
  18. Roberto Mantaci et Fanja Rakotondrajao, « A permutation representation that knows what “Eulerian” means », Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, vol. 4,‎ , p. 101–108 (lire en ligne).
  19. « Lehmer Five ».
  20. Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, Springer, , p. 18.
  21. présentation en ligne.

Voir aussi

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Articles connexes

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Liens externes

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