En mathématiques, la mesure de Mahler est une mesure de la complexité des polynômes. Elle porte le nom de Kurt Mahler (1903–1988) et était à l'origine utilisée dans la recherche de grands nombres premiers. En raison de la connexion à des valeurs particulières des fonctions L, elle fait l'objet de nombreuses conjectures en théorie analytique des nombres .

Définition

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La mesure de Mahler   d'un polynôme   à coefficients réels ou complexes est par définition :

 

 

est la norme   de  . A l'aide de la formule de Jensen, on peut montrer que pour la factorisation :

 

on obtient l'expression :

 .

La mesure de Mahler logarithmique d'un polynôme est définie comme

  .

La mesure de Mahler d'un nombre algébrique   est définie comme la mesure de Mahler du polynôme minimal de   sur  .

Propriétés

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  • La mesure de Mahler est multiplicative, c'est-à-dire :  
  • Pour les polynômes cyclotomiques et leurs produits, on a   .
  • Théorème de Kronecker : Si   un polynôme unitaire irréductible à coefficients entiers et   , alors soit   , soit   est un polynôme cyclotomique.
  • La conjecture de Lehmer (en) stipule qu'il existe une constante   telle que tout polynôme irréductible   à coefficients entiers est soit cyclotomique soit vérifie   .
  • La mesure de Mahler d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est un nombre de Perron .

Valeurs spéciales des fonctions L

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Il existe de nombreuses relations, en partie conjecturées et en partie également prouvées, entre les mesures de Mahler (logarithmiques) des polynômes et des valeurs particulières des fonctions L .

Historiquement, le premier exemple est la formule de Smyth

 

  .

Une conjecture de Ted Chinburg affirme que, pour tout entier positif   , il existe un polynôme de Laurent   et un nombre rationnel   tel que

 

 

est le discriminant du caractère  .

Une approche qui remonte à Boyd et Rodriguez-Villegas consiste à représenter les mesures logarithmiques de Mahler d'une certaine classe de polynômes comme des combinaisons linéaires rationnelles de valeurs du dilogarithme de Bloch-Wigner d'arguments algébriques, et de mettre ces valeurs à leur tour en relation avec le volume d'une variété hyperbolique, et en les reliant à des valeurs spécifiques de fonctions zêta via le théorème de Borel.

Mesure de Mahler pour les polynômes de plusieurs variables

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La mesure de Mahler   d'un polynôme   est défini de manière analogue par la formule

 

On peut montrer que   converge (Lawton 1983).

Pour  , soit

 

Alors on a :

 

Bibliographie

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  • (en) David W. Boyd, « Speculations concerning the range of Mahler's measure », Canad. math. bull., vol. 24,‎ , p. 453-469.
  • (en) Wayne M. Lawton, « A problem of Boyd concerning geometric means of polynomials », J. Number Theory, vol. 16, no 3,‎ , p. 356–362.
  • (en) P. Borwein et T. Erdélyi, Polynomials and Polynomial Inequalities, New York, Springer-Verlag, , §5.3.E.4 « Mahler's Measure », p. 271-272.
  • (en) Klaus Schmidt, Dynamical systems of algebraic origin, Bâle, Birkhäuser Verlag, coll. « Progress in Mathematics » (no 128), , xviii + 310 (ISBN 3-7643-5174-8). — Réimpression dans la collection Modern Birkhäuser Classics, Birkhäuser (ISBN 978-3-0348-0276-5), xviii + 310 p. (2011).
  • (en) Andrzej Schinzel, Polynomials with special regard to reducibility, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and Its Applications » (no 77), (ISBN 978-0-521-66225-3, zbMATH 0956.12001)
  • (en) David W. Boyd et Fernando Rodriguez-Villegas, « Mahler’s measure and the dilogarithm. I », Journal canadien de mathématiques, vol. 54, no 3,‎ , p. 468-492 (zbMATH 1032.11028).
  • (en) David Boyd, « Mahler’s measure and Special Values of L-functions », Pacific Northwest Number Theory Conference, University of British Columbia, .
  • (en) François Brunault et Wadim Zudilin, Many variations of Mahler measures : a lasting symphony, Cambridge, United Kingdom New York, NY, Cambridge University Press, (ISBN 978-1-108-79445-9).
  • (en) James McKee et Chris Smyth, Around the unit circle : Mahler measure, integer matrices and roots of unity, Cham, Springer, coll. « Universitext », , xx + 438 (ISBN 978-3-030-80030-7, zbMATH 07384470).
  • (en) Daniel S. Silver et Susan G. Williams, « Lehmer’s question, graph complexity growth and links », The New York Journal of Mathematics, vol. 27,‎ , p. 981-1008 (lire en ligne).

Notes et références

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Liens externes

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