En mathématiques, un entier algébrique réel strictement supérieur à 1 est un nombre de Salem si tous ses conjugués ont un module inférieur ou égal à 1, et au moins un conjugué a un module égal à 1. Les nombres de Salem apparaissent en approximation diophantienne et en analyse harmonique. Ils sont nommés en l'honneur de Raphaël Salem.

Propriétés modifier

  • Comme il a une racine de module 1, le polynôme minimal d'un nombre de Salem α doit être égal à son polynôme réciproque. Il en résulte que :
    • 1α fait partie des conjugués de α (donc est, lui aussi, un entier algébrique)
    • tous les conjugués de α ont un module égal à 1, sauf α et 1α.
  • Le plus petit nombre de Salem connu est la plus grande racine réelle du polynôme de Lehmer[1] :
 
Ce nombre vaut approximativement 1,17628[1].
On ignore s'il existe un plus petit nombre de Salem.

Notes et références modifier

  1. a et b (en) Peter Borwein, Computational Excursions in Analysis and Number Theory, New York/Berlin/Heidelberg, Springer-Verlag, coll. « CMS Books in Mathematics », , 220 p. (ISBN 0-387-95444-9, lire en ligne), p. 16.

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