Cube de Hilbert

cube de dimension infinie avec une topologie compacte

En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit muni de la topologie produit, autrement dit : l'espace des suites à valeurs dans [0, 1], muni de la topologie de la convergence simple. D'après le théorème de Tykhonov, c'est un espace compact.

Il est homéomorphe au sous-espace suivant de 2, pour tous [1] :

.

Il est donc métrisable et par conséquent (puisqu'il est compact), séparable[2] et possède la propriété suivante[3] :

Tout espace métrisable et séparable[4] est homéomorphe à un sous-espace de K.

Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables séparables, et aussi un critère pour les classifier selon leur complexité ; par exemple un espace est polonais si et seulement s'il est homéomorphe à l'intersection d'une suite d'ouverts de K. On en déduit aussi que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.

Notes et référencesModifier

  1. Pour le cas  , voir Franck Boyer, « Analyse Fonctionnelle, TD 2 (exercices corrigés) », exercice 7.
  2. et « même » – ce qui, pour un espace métrisable, est en fait équivalentà base dénombrable.
  3. « Résultat dû à Urysohn » : François Guénard et Gilbert Lelièvre, Compléments d'analyse, Volume 1, Topologie, première partie, ENS Fontenay, 1985, p. 29.
  4. On peut remplacer ces deux hypothèses par : régulier et à base dénombrable, puisque tout espace régulier à base dénombrable est métrisable.

Voir aussiModifier

Espace de Cantor