Ouvrir le menu principal

Covariant et contravariant (algèbre linéaire)

Page d'aide sur l'homonymie Pour le principe physique, voir Principe de covariance générale.
Page d'aide sur l'homonymie Pour la notion probabiliste, voir Covariance.

En algèbre linéaire, les adjectifs covariant et contravariant sont utilisés pour décrire la manière avec laquelle des grandeurs varient lors d'un changement de base. Ces grandeurs sont dites covariantes lorsqu'elles varient comme les vecteurs de la base, et contravariantes lorsqu'elles varient de façon contraire.

La notion est étroitement liée au concept de dualité : les coordonnées covariantes dans une base correspondent en effet aux coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement.

En géométrie différentielle, la considération des espaces tangents permet d'étendre les deux concepts aux familles de fonctions définies sur les variétés différentielles.

La manipulation de grandeurs covariantes et contravariantes est facilitée par la convention de sommation d'Einstein, qui sera largement utilisée dans cet article.

DéfinitionModifier

Soit un espace vectoriel   de dimension finie  , ainsi que deux bases   et   telles que le changement de base de   vers   s'écrit:

 

Soit une famille   de fonctions, chacune de   vers un espace vectoriel de même corps que  .

Les familles de vecteurs   et   sont alors notées respectivement   et  .

  est dite covariante lorsque  

L'indice est alors noté en bas et la convention d'Einstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit:

 

  est dite contravariante lorsque  

L'indice est alors noté en haut et la convention d'Einstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit:

 

Par un léger abus de langage, les termes covariant et contravariant sont aussi appliqués aux familles de vecteurs   et  , la dépendance par rapport au choix de la base étant sous-entendue.

ExemplesModifier

Décomposition dans une baseModifier

Théorème et définition —  Les coefficients de l'unique décomposition d'un vecteur dans une base forment une famille contravariante de scalaires appelés coordonnées contravariantes, qui sont donc notés avec un indice haut.

 

Produits scalaires dans une baseModifier

Théorème et définition — Les produits scalaires d'un vecteur par les vecteurs d'une base constituent une famille covariante de scalaires appelés coordonnées covariantes, qui sont donc notés avec un indice bas.

 

Dérivées directionnellesModifier

En analyse vectorielle, il est possible de définir l'opérateur de dérivation directionnelle selon une direction   ainsi:

 

Théorème — Les opérateurs de dérivation directionnelle selon les directions définies par les vecteurs d'une base forment une famille covariante d'opérateurs, qui sont donc notés avec un indice bas.

 

  est parfois noté  .

PropriétésModifier

Lien avec les bases dualesModifier

Si   est un  - ou  -espace vectoriel de dimension finie, alors   et son dual   sont isomorphes. Par conséquent, à tout vecteur   de   correspond un unique vecteur   de  , et on identifie parfois les deux. Dans l'énoncé suivant, la deuxième égalité doit donc être comprise comme une correspondance plutôt que comme une égalité.

De plus, ce qu'on entend par "produit scalaire"   dans l'énoncé suivant et sa démonstration est en réalité le crochet de dualité de   et de  , c'est-à-dire le résultat   de l'application de la forme linéaire   à  .

Théorème — Les coordonnées covariantes dans une base sont les coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement.

 

C'est-à-dire:

 

Produit contractéModifier

Théorème et définition —  Soient   et   deux familles respectivement contravariante et covariante, à valeurs dans une algèbre associative. L'expression

 

ne dépend pas du choix de la base utilisée, et est appelée produit contracté.

Extension en géométrie différentielleModifier

En géométrie différentielle, les espaces considérés, c'est-à-dire les variétés différentielles, n'ont pas de structure d'espace vectoriel et à ce titre les concepts de covariance et de contravariance ne sont pas directement applicables. Cependant, les variétés différentielles sont, localement, assimilables à des espaces vectoriels à travers les espaces tangents. Des correspondances naturelles permettent donc de définir les notions vues plus haut non plus par rapport à un changement de base, mais plutôt par rapport à un changement de coordonnées  .

Localement, ces coordonnées varient selon les différentielles:

 

Ces coordonnées différentielles   sont alors contravariantes, par analogie avec les coordonnées   vues plus haut.

Dès lors, lorsqu'un ensemble   de fonctions varie comme les coordonnées, c'est-à-dire lorsque

 

alors   est dit contravariant "pour" (ou "selon") l'indice   (puisqu'il varie comme les coordonnées contravariantes).

Lorsqu'un ensemble   varie de façon contraire, c'est-à-dire lorsque

 

ou  ,


alors   est dit covariant "pour" (ou "selon") l'indice   (il varie comme les vecteurs tangents).

  peut très bien être covariant pour certains indices, et contravariant pour d'autres. La transformation la plus générale s'écrit alors:

 

Ceci constitue une définition simplifiée du concept de tenseur.

Certains auteurs, tels que Sean M. Carroll (cf. bibliographie), préfèrent poser le symbole prime sur les indices et non sur le tenseur. Ils notent ainsi:

 

Autres usages du vocableModifier

Les concepts de covariance et contravariance se retrouvent dans d'autres domaines, comme en informatique, notamment concernant le typage des données. Le lien entre ces différents usages traduit une structure commune plus abstraite qui relève essentiellement de la théorie des catégories.


BibliographieModifier

Articles connexesModifier

Sur les autres projets Wikimedia :