Pseudo-vecteur (mathématiques)

Dans un espace vectoriel de dimension 3, un pseudo-vecteur est un objet mathématique qui peut être représenté par une forme bilinéaire alternée ou par un tenseur antisymétrique d'ordre 2 ou, dans une base donnée, par une matrice antisymétrique. Il porte aussi le nom de bivecteur car il peut s'écrire comme le produit extérieur de deux formes linéaires. Si l'espace est euclidien et orienté, on lui fait correspondre un vecteur de l'espace appelé vecteur dual. On peut généraliser cela à toute dimension supérieure à 3.

Par exemple, la vitesse d'un point quelconque d'un solide en rotation dans l'espace est déterminée à l'aide d'un tenseur antisymétrique c'est-à-dire un pseudo-vecteur. Cependant, il est plus pratique d'utiliser son vecteur dual car celui-ci indique (entre autres) la direction de l'axe de rotation.

NotationsModifier

Les notions évoquées ci-dessus (et détaillées ci-dessous) s'organisent suivant le schéma suivant :

 

On désigne par   un espace vectoriel de dimension  . Afin de distinguer le produit extérieur et le produit vectoriel, on utilisera de façon exclusive la notation «   » pour le produit extérieur (notation universelle donc incontournable) et la notation «   » pour le produit vectoriel (notation extrêmement répandue, même si elle n'est pas encore utilisée partout et en particulier en France).

Espace dualModifier

On note   l'espace dual de   c'est-à-dire l'espace vectoriel des formes linéaires sur   ; ses éléments sont appelés des covecteurs. Cet espace vectoriel est aussi de dimension  .

Base dualeModifier

On note   la forme linéaire définie par   si   et   si   c'est-à-dire    est le tenseur de Kronecker. La base   de l'espace dual   est appelée base duale[1] de  . Tout changement de base dans   induit automatiquement le changement de sa base duale.

La position des indices dans la base   n'est qu'une convention d'écriture parmi d'autres pour distinguer les vecteurs des deux bases. On aurait pu écrire   ou   par exemple. La convention choisie est celle qui est adaptée à l'écriture tensorielle et à la convention de sommation d'Einstein que l'on utilisera systématiquement.

Covariance et contravarianceModifier

En cohérence avec la dénomination tensorielle, un vecteur est un tenseur de type (1,0) et est dit contravariant ; de même un covecteur est un tenseur de type (0,1) et est dit covariant. C'est une définition intrinsèque (qui ne fait pas appel aux bases) et, comme toute définition, elle ne nécessite aucune justification[2].

  • La base  , constituée de vecteurs contravariants, est dite contravariante. Soit   un vecteur ; ses coordonnées   dans la base contravariante   sont définies par   et sont appelées les coordonnées contravariantes de  . Dans  , l'indice   est dite en position contravariante (position haute) car il se réfère à des coordonnées contravariantes. On vérifie que  .
  • La base  , constituée de vecteurs covariants, est dite covariante. Soit   un covecteur ; ses coordonnées   dans la base covariante   sont définies par   et sont appelées les coordonnées covariantes de  . Dans  , l'indice   est dite en position covariante (position basse) car il se réfère à des coordonnées covariantes. On vérifie que  .

Remarque : La position covariante ou contravariante d'un indice ne concerne que les coordonnées. En effet le vecteur   est contravariant bien que l'indice   soit en position basse. De même le covecteur   est covariant bien que l'indice soit en position haute. Cela est simplement dû à la position des indices dans la convention d'Einstein.

Cas EuclidienModifier

Isomorphismes musicauxModifier

Dans le cas où   est un espace vectoriel euclidien, à tout vecteur   on fait correspondre la forme linéaire   définie par   (où «   » est le produit scalaire). L'application linéaire   est un isomorphisme de   sur  . On note   son isomorphisme réciproque[3] et on définit sur   un produit scalaire (que l'on note encore «   »), appelé produit scalaire dual[4], par  . Muni de ce produit scalaire,   est un espace vectoriel euclidien et ces isomorphismes sont des isométries qui permettent d'identifier les espaces euclidiens   et  . Dans ce cas, quand on parle d'un vecteur (sans préciser davantage) on parle indifféremment d'un élément de   ou d'un élément de   ; on ne fait donc plus la distinction entre vecteurs et covecteurs.

Comme les formes linéaires   sont identifiées à des vecteurs de  , on a  . Par exemple en dimension 3 on a   et  . Par conséquent    est le projeté orthogonal de   sur la droite orthogonale au plan engendré par les vecteurs   et  .

On ne fait plus la distinction entre vecteur et covecteur c'est-à-dire que l'on ne fait plus la distinction entre vecteur contravariant et vecteur covariant. Par contre, comme la base   est aussi une base de  , les coordonnées d'un vecteur peuvent être calculées aussi bien dans la base   que dans la base  . Il faut donc toujours faire la distinction entre coordonnées covariantes et coordonnées contravariantes[5].

  • Dans la base   on a   et ses coordonnées contravariantes vérifient  .
  • Dans la base   on a   et ses coordonnées covariantes vérifient  .

Tenseur métriqueModifier

Le produit scalaire défini sur   est un cas particulier de métrique[6]. Son tenseur associé est un tenseur covariant[7] appelé tenseur métrique. De même le produit scalaire dual, définit sur  , est la métrique duale. Son tenseur associé est un tenseur contravariant appelé tenseur métrique dual.

On note   les coordonnées dans la base   du tenseur métrique et   les coordonnées dans la base   du tenseur métrique dual. Par définition des produits scalaires, on a les relations   et  . Ces tenseurs sont symétriques et on vérifie que  ,   et  . De plus, pour tout vecteur   on a   et  . Ces formules montrent que la matrice   est la matrice de changement de base de   vers   et que sa matrice inverse est  .

Si   et   alors  . Il est très inhabituel d'utiliser de cette manière les coordonnées issues de deux bases différentes, mais   et   ne sont pas indépendantes.

Par la suite il n'y a pas d'inconvénient à supposer que l'espace vectoriel est euclidien, le contexte permettant de savoir si la notion est utile ou non.

Algèbre extérieureModifier

Formes extérieuresModifier

Soit   un espace vectoriel. Pour   on note   l'espace vectoriel des p-formes alternées définies sur  . On complète ces notations en posant  ,   et   pour  . La dimension de l'espace vectoriel   est   avec la convention   si  . Les espaces vectoriels   et   ont donc la même dimension.

On note   la somme directe de ces espaces vectoriels, c'est-à-dire

 

Les éléments de   sont appelés des formes extérieures et ceux de   des p-formes extérieures ou des p-vecteurs.

Produit extérieurModifier

Le produit extérieur des covecteurs   et   est noté   et est défini pour tout   et tout   par

 

C'est une forme bilinéaire car elle est linéaire en   et linéaire en  . Elle est de plus alternée car   pour tout   et donc antisymétrique, c'est-à-dire que  

On peut définir le produit extérieur   sur  . Comme la définition formelle du produit extérieur est assez complexe[8], on se contentera d'en donner ses principales propriétés.

  • le produit extérieur   est une application bilinéaire de   dans  
  • si   et   alors  
  • si   et   alors  
  • le produit extérieur est associatif c'est-à-dire que   que l'on note alors plus simplement  

Muni de cette loi,   est une algèbre extérieure.

Pseudo-vecteurModifier

Les éléments de   sont appelés des bivecteurs. D'autre part   est, tout comme  , de dimension  . Les éléments de   sont pour cela appelés des pseudo-vecteurs. Le préfixe pseudo signale seulement que ces vecteurs, bien qu'appartenant à un espace vectoriel de même dimension que  , ne sont pas des éléments de  . Dans le cas  , les pseudo-vecteurs sont donc des bivecteurs ; cette coïncidence n'a lieu que pour  .

Soit   et   deux covecteurs. Comme   et   alors  . Avec le vocabulaire ci-dessus,   est donc un bivecteur. Dans le cas   c'est aussi un pseudo-vecteur et tout pseudo-vecteur peut s'écrire comme le produit extérieur de deux covecteurs.

Bases des p-vecteursModifier

Étant donnée   une base de  , on a défini la base duale   qui est donc la base canonique de   associée à  . Pour  , on peut aussi définir une base de   de façon naturelle (canonique) ; cependant, on ne peut définir aucun ordre naturel sur cette base.

Soit  . Pour tout p-uplet ordonné   vérifiant   on pose  . Puisque   alors  . Par exemple,   et  . L'ensemble des p-vecteurs    est un p-uplet ordonné est une base de   notée  . C'est la base covariante associée à la base   et tout changement de base dans   induit automatiquement un changement de base dans  . Par abus de langage, les coordonnées d'un p-vecteur   dans cette base sont appelées les coordonnées covariantes de   dans   (il est clair que c'est un abus de langage car  ).

Pour  , la base covariante de   est  . Tout bivecteur   peut s'écrire (de manière unique) sous la forme   ce qui donne

 

car on doit sommer sur l'ensemble des couples   possibles vérifiant   (convention d'Einstein généralisée).

Dans le cas où   est un espace euclidien, les vecteurs   sont identifiés à des covecteurs. De la même manière, on peut alors poser  . La base constituée de ces p-vecteurs, notée  , est la base contravariante associée à  . Par abus de langage, les coordonnées d'un p-vecteur   dans cette base sont appelées les coordonnées contravariantes de   dans  .

Pour  , la base contravariante de   est  . Tout bivecteur   peut s'écrire (de manière unique) sous la forme   ce qui donne

 

Remarque : Il existe un isomorphisme canonique (c'est-à-dire indépendant des bases) entre les bivecteurs et les tenseurs antisymétrique d'ordre 2. En général on distingue ces tenseurs suivant qu'ils sont covariants, contravariants ou mixtes. Dans le cas d'un espace euclidien, ces distinctions sont sans objet car on identifie   et  . Cependant, même dans ce cas, il faut toujours faire la distinction entre les coordonnées contravariantes et covariantes car cela revient à indiquer dans quelle base (  ou  ) les coordonnées sont calculées[5].

Espace orientéModifier

DéfinitionModifier

L'espace vectoriel   est, tout comme  , de dimension 1. Ses éléments sont pour cela appelés des pseudo-scalaires. Là encore, le préfixe pseudo signale simplement que les éléments de   ne sont pas des éléments de  .

Une forme volume sur   est un élément non nul de  . Comme cet espace est de dimension 1, la relation d’équivalence définie sur   par

 

permet de définir deux classes d’équivalence appelées orientations de  . L'espace vectoriel   muni de l'orientation   est noté   et appelé espace vectoriel orienté[9]. Même si le plus souvent, en l'absence d'ambiguïté, on note encore   l'espace vectoriel orienté, il est mathématiquement important de distinguer l'espace vectoriel   de l'espace vectoriel orienté   .

Bases directesModifier

Soit   une base de   et   une forme volume. On dit que   est directe (ou orientée positivement) si   et indirecte (ou rétrograde ou orientée négativement) si  . Cela est indépendant de  .

On peut remarquer que la définition mathématique ci-dessus de l'orientation est intrinsèque. Elle ne fait pas intervenir les bases qui, de ce point de vue, sont des éléments étrangers à la notion. Il existe cependant une propriété concernant les bases qui sert parfois de définition alternative. Soit   une base de   (espace non orienté). L'ensemble des formes volumes   telles que   est une orientation. Cette orientation est appelée « orientation définie par   ». Si on la note   alors (par définition)   est une base directe de l'espace orienté  .

En physique, on peut ainsi définir une orientation telle que les bases directes soient des bases orientées à droite[10]. Pour cela on choisit une base orientée à droite (par la règle de la main droite, par exemple). D'après ce qui précède, cela détermine une orientation pour laquelle la base est directe. Cette orientation est identique à celle déterminée par le tire-bouchon de Maxwell.

Tenseur de Levi-CivitaModifier

Dans le cas d'un espace euclidien, on dit que   est un vecteur unitaire si et seulement s'il existe une base orthonormale de   notée   telle que  . Les propriétés du déterminant montrent alors que cette égalité est vérifiée pour toute base orthonormale. Il n'existe que deux vecteurs unitaires, chacun appartenant à une orientation. Soit   un vecteur unitaire ; l'ensemble des formes volumes   telles que   est une orientation et on note   l'espace vectoriel euclidien orienté par cette orientation. Cette définition de   coïncide avec celle du tenseur de Levi-Civita qui peut donc aussi être appelé forme volume unité ou unité pseudo-scalaire.

Le tenseur de Levi-Civita permet de définir une bijection (canonique au signe près) appelée loi étoile de Hodge qui met en dualité les espaces vectoriels   et  . Ces espaces sont dits duaux l'un de l'autre, le contexte permettant de ne pas confondre avec l'espace dual  .

Soit     vecteurs de  . L'expression   est parfois notée   et porte alors le nom de produit mixte. En dimension 3 on a, d'après la définition du produit vectoriel, la relation

 

Cette formule est à l'origine de l'appellation « produit mixte ». Les propriétés d'antisymétrie de   donnent des relations analogues par permutation circulaire sur les indices.

Si les vecteurs sont coplanaires le résultat est nul. Sinon sa valeur absolue est égale au volume du parallélépipède construit sur ces trois vecteurs. Cela explique a posteriori le nom de « forme volume » donnée aux éléments de  .

Espace euclidien orienté en dimension 3Modifier

ExempleModifier

Vecteur instantané de rotationModifier

Soit   un solide mobile indéformable et   une base quelconque[11] de   liée à   Les vecteurs   dépendent du temps mais les coordonnées du tenseur métrique dans cette base restent constantes. On note   sa base duale. Comme   alors  . On note  . D'où   et   car les   sont les coordonnées covariantes de   dans la base  .

Si   est un vecteur lié à   alors   où les   ne dépendent pas du temps. D'où  . Finalement

 

Il existe une forme bilinéaire alternée unique notée   telle que   (puisque les   sont les coordonnées d'un tenseur,   ne dépend pas de la base  ). Par conséquent  , c'est-à-dire que   est un bivecteur et aussi un pseudo-vecteur puisque la dimension de   est égale à 3.

D'un point de vue théorique, le pseudo-vecteur   est l'outil adapté au problème mais il présente un double inconvénient. Tout d'abord, on ne travaille pas avec les objets eux-mêmes mais avec leurs coordonnées. Ensuite, il n'est pas facile de visualiser l'action d'un tel tenseur sur un schéma.

 
Le vecteur vitesse angulaire décrit la vitesse de rotation et l'axe de rotation instantanée. La direction du vecteur vitesse angulaire est celle de l'axe de rotation ; dans ce cas (sens antihoraire) le vecteur pointe vers le haut

On cherche un outil ne présentant pas ces inconvénients ; pour cela on a besoin que l'espace soit orienté (on n'en avait pas besoin jusque là). Le dual de Hodge de   est un vecteur et on pose   (où   est la loi étoile de Hodge). Les coordonnées de   dans la base   sont    est le tenseur de Levi-Civita. On obtient   et  . D'où

 

L'avantage est immédiat. On travaille avec un vecteur, qui est un objet plus simple qu'un tenseur (ici un bivecteur) et la formule n'utilise pas les coordonnées. Mais il faut être conscient que l'on a introduit artificiellement l'orientation de l'espace dans un problème qui, au départ, n'en dépend pas. Une première fois pour définir le vecteur  , une seconde fois pour l'utiliser à l'aide du produit vectoriel. Le vecteur dual   peut donc être considéré comme un simple intermédiaire de calcul qui a l'avantage de pouvoir être représenté graphiquement mais qui possède l'inconvénient de mal supporter les transformations, contrairement au pseudo-vecteur   (voir ci-dessous).

Éléments correspondantsModifier

On reprend les notations précédentes. Soit   une isométrie de   indépendante du temps. Pour chaque élément défini sur   on note avec un « ' » l'élément correspondant sur  . Le plus souvent les éléments se correspondent à l'aide de l'isométrie, mais pas toujours.

On a  . Si   alors   est la base image de   car  . De même   est la base image de   car  . On a aussi   et  . Mais pour   on a   si   est directe et   si   est indirecte.

Si l'isométrie est indirecte, le correspondant du vecteur dual   est l'opposé de son image. En physique, on retrouve cette correspondance avec les vecteurs axiaux.

Cas généralModifier

Dualité vecteur / pseudo-vecteurModifier

En dimension 3, les espaces vectoriels   et   sont duaux c'est-à-dire que chaque pseudo-vecteur est associé par la loi étoile de Hodge à un vecteur et réciproquement. Si   est un pseudo-vecteur, on note   son vecteur dual. De même si   et un vecteur on note   son bivecteur dual. Les relations tensorielles entre les coordonnées sont

  et  

  est le tenseur de Levi-Civita. On a donc   et  .

En dimension 3, tout pseudo-vecteur peut s'écrire comme le produit extérieur de deux vecteurs. Le cas général se réduit donc à ce qui pourrait passer pour un cas particulier. Avec   on obtient

 

c'est-à-dire que le produit vectoriel est le vecteur dual du produit extérieur[13].

Transformation isométriqueModifier

Soit   une isométrie de  . On note   son déterminant. On a   suivant que l'isométrie est directe ou indirecte.

  • Pour le produit extérieur :  [12]
  • Pour le produit vectoriel :  
 
En rouge, est représenté le produit vectoriel des deux vecteurs en noir. Sous une inversion d'espace chaque vecteur est changé en son opposé. En gris sont représentés les opposés des vecteurs en noir ; leur produit vectoriel est aussi égal au vecteur en rouge et non égal à son opposé.

On a donc le schéma suivant :

 

Lorsque l'on transforme un bivecteur et son vecteur dual par une isométrie indirecte, le dual de l'image et l'image du dual sont des vecteurs opposés. Ce schéma ne fait que mettre en évidence la correspondance entre les deux vecteurs duaux ; il ne modifie pas l'image de   qui est toujours   et non  .

En particulier si   est l'inversion de l'espace[14], alors   et l'opposé du produit n'est pas le produit des opposés. Cette relation n'a rien d'extraordinaire[15] et ne reflète pas un caractère "spécial" du produit vectoriel. Elle est, par exemple, vérifiée dans les réels :   mais  .

Représentation matricielleModifier

Dans l'espace vectoriel des matrices carrées  , on peut définir deux produits.

  • le premier, noté "   " ou (le plus souvent) par une absence de signe, correspond au produit matriciel usuel :   ou  
  • le second, noté  , est le crochet de Lie :  

Il est à remarquer que le sous espace vectoriel des matrices antisymétriques n'est pas stable pour le produit usuel mais qu'il est stable pour le crochet de Lie. C'est-à-dire que si   et   sont antisymétriques alors   est aussi antisymétrique.

Soit   un espace euclidien et   une base orthonormale directe de  . Comme  , on ne fait plus la distinction entre covariant et contravariant et la position des indices n'a plus aucune importance. On note   la base canonique de  , c'est-à-dire de l'espace vectoriel des pseudo-vecteurs (ou bien ici des bivecteurs). Par rapport à leurs bases respectives, un pseudo-vecteur et son vecteur dual peuvent être représentés par des matrices : une matrice (3,1) pour le vecteur et une matrice (3,3) antisymétrique pour le pseudo-vecteur.

Par rapport à leur bases respectives, un pseudo-vecteur et son vecteur dual ont presque[16] les mêmes coordonnées et les matrices se correspondent de façon simple. Par exemple si   alors   et donc  . Les matrices correspondantes sont donc
  et  
Pour des raisons pratiques (cf les formules ci-dessous) on considère aussi la matrice transposée   appelée la représentation antisymétrique de  . Ces deux représentations sont utilisées ; par exemple, elles sont présentes comme sous matrices du tenseur de Maxwell selon la signature de la métrique.

On peut vérifier que

  •   : matrice   vecteur colonne = vecteur colonne
  •   :  matrice antisymétrique, matrice antisymétrique  = matrice antisymétrique
  •   (cf. Exponentielle d'une matrice). C'est donc une matrice de rotation. Plus précisément, l'axe de rotation est de direction   et l'angle de rotation (en radians) est égal à  .

Remarque : Si la base n'est pas orthonormale ou même seulement indirecte, alors les coordonnées ne sont plus les mêmes et la correspondance ci-dessus n'est plus valable. Par exemple, rien de changé dans l'expression du produit extérieur (pseudo-vecteur) mais pour le produit vectoriel (vecteur dual) l'expression n'est plus aussi simple. La représentation matricielle n'a alors plus aucun intérêt.

GénéralisationModifier

Ce qui précède peut se généraliser aux Variétés différentiables. On parle alors de champ : champ de vecteurs, champ de covecteurs, champ de bivecteurs, etc.

Si   est un système de coordonnées locales, alors la base associée des champs de vecteurs est    et la base duale (celle des covecteurs) est  . On retrouve la position des indices.

La dérivée extérieure   joue un rôle essentiel dans ce contexte. Exemple en dimension 3 : si   est un champ de covecteurs alors   est un champ de pseudo-vecteurs et   est son champ de vecteurs duaux. Les relations correspondantes utilisant les coordonnées sont   et  .

De même, l'intégration des champs de p-vecteurs (qui portent alors le nom de p-formes différentielles) est un outil puissant ayant de nombreuses applications aussi bien en mathématiques qu'en physique (voir les articles détaillés).


Notes et référencesModifier

  1. En physique et particulièrement en cristallographie, on parle de "base réciproque".
  2. Expliquer le choix des mots utilisés sort du cadre mathématique mais n'est pas dénué d'intérêt pour autant. Soit  ,   et   avec   et donc  . Si   alors   et donc  . De même si   alors   et donc  . On voit donc que les coordonnées du covecteur varient dans le même sens que la base alors que celles du vecteur varient en sens contraire.
  3. Ces isomorphismes canoniques sont appelés les isomorphismes musicaux. Berger, p. 21
  4. Ce produit scalaire est compatible avec la norme duale, c'est-à-dire que   avec  .
  5. a et b Excepté si la base   est orthonormale car alors  .
  6. Une métrique (à ne pas confondre avec la distance d'un espace métrique) est une généralisation du produit scalaire (métriques euclidiennes). Elle intervient dans les espaces quadratiques (par exemple métrique de Minkowski, métriques lorentziennes) ainsi que dans les variétés différentiables.
  7. Landau, p. 295 §83.
  8. Godbillon, p. 23 §4.
  9. Contrairement à ce qui se passe en physique où l'orientation parait indépendante de l'espace physique, l'orientation d'un espace vectoriel orienté fait partie intégrante de cet espace et il n'est pas question d'envisager d'en changer. Cela n'aurait pas plus de sens que de vouloir changer la loi de multiplication dans  .
  10. C'est la définition ci-dessus (mathématique) de « base directe » qui est utilisée ici. Cette phrase n'aurait aucun sens si les notions de « base directe » et de « base orientée à droite » étaient pris pour synonymes, comme c'est souvent le cas en physique.
  11. base quelconque : non nécessairement orthogonale ni même directe.
  12. a et b Godbillon, p. 24 §4.
  13. On voit, une fois de plus, tout l'intérêt de pouvoir disposer de notations distinctes pour ces deux opérateurs à la fois si étroitement liés et si différents.
  14. Transformation qui à tout vecteur   fait correspondre son opposé  . A ne pas confondre avec l'inversion de la base :  .
  15. C'est même la règle générale lorsque le produit est bilinéaire.
  16. Si l'on modifie de façon ad hoc la base canonique de   en prenant  , alors les coordonnées sont exactement les mêmes.

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

  • Marcel Berger, Paul Gauduchon et Edmond Mazet, Le spectre d'une variété riemannienne, Berlin · Heidelberg, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics »,
  • Claude Godbillon, Géométrie différentielle et mécanique analytique, Paris, Hermann, coll. « Méthode »,
  • L.Landau et E.Lifchitz (trad. Edouard Gloukhian), Théorie du champ, Moscou, Mir,

Articles connexesModifier