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Aleph-un

nombre cardinal
Cet article court présente un sujet plus développé dans : Aleph (nombre) et Premier ordinal non dénombrable.

En théorie des ensembles, les alephs sont les cardinaux des ensembles bien ordonnés infinis, et ℵ₁ (lire Aleph-un) est le plus petit d'entre eux qui ne soit pas dénombrable, c'est-à-dire le plus petit qui soit strictement supérieur à ℵ₀, cardinal de l'ensemble des entiers naturels ; ℵ₁ est aussi le cardinal de l'ensemble des ordinaux dénombrables (dit autrement, le cardinal associé à l'ordinal de Hartogs de l'ensemble des entiers naturels).

Par définition, il n'existe aucun ensemble dont le cardinal soit strictement compris entre ℵ₀ et ℵ₁. En présence de l'axiome du choix, tous les ensembles pouvant être bien ordonnés, ℵ₁ est le plus petit cardinal infini non dénombrable.

L'hypothèse du continu de Cantor est que la puissance du continu, le cardinal de l'ensemble des réels, noté 2ℵ₀ ou , égale ℵ₁.