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Cardinalité (mathématiques)

mesure de la taille d'un ensemble dénombrable (énumérable et fini) : si l'ensemble est partie d'un espace mesurable avec un nombre fini de dimensions, l'ensemble des mesures entre deux éléments est dénombrable dans chacune de ces dimensions
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En mathématiques, la cardinalité est une notion de taille pour les ensembles. Lorsqu'un ensemble est fini, c'est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s'agit du nombre d'éléments de l'ensemble. En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro.

La généralisation de cette notion aux ensembles infinis est fondée sur la relation d'équipotence : deux ensembles sont dits équipotents s'il existe une bijection de l'un dans l'autre. Par exemple, un ensemble infini est dit dénombrable s'il est en bijection avec l'ensemble des entiers naturels. C'est le cas de l'ensemble des entiers relatifs ou de celui des rationnels mais pas de celui des réels, d'après l'argument de la diagonale de Cantor. L'ensemble des réels a un cardinal strictement plus grand, ce qui signifie qu'il existe une injection dans un sens mais pas dans l'autre. Le théorème de Cantor généralise ce résultat en montrant que tout ensemble est de cardinal strictement inférieur à l'ensemble de ses parties.

L'étude de la cardinalité en toute généralité peut être approfondie avec la définition des nombres cardinaux.

Il existe plusieurs notations classiques pour désigner le cardinal d'un ensemble, avec l'opérateur Card, le croisillon (#) préfixe, à l'aide de barres verticales de chaque côté ou une ou deux barres horizontales au-dessus[1].

Un ensemble de cardinal 4.
Différentes notations pour le cardinal d'un ensemble .

Cardinal d'un ensemble finiModifier

DéfinitionModifier

Un ensemble   est dit fini s'il est vide ou s'il existe un entier naturel   non nul et une suite finie   d'éléments de   dans laquelle chaque élément de   apparait exactement une fois. Autrement dit, un ensemble non vide est fini s'il est en bijection avec un intervalle d'entiers  .

La propriété fondamentale pour bien définir le cardinal d'un ensemble fini est l'unicité de l'entier   correspondant. En effet, si un ensemble est en bijection avec deux intervalles d'entiers   et  , alors  .

Article détaillé : Équipotence.

PropriétésModifier

Soit   et   deux ensembles finis de cardinaux respectifs   et  .

  • Si   et   peuvent être mis en bijection, alors  .

Parties d'un ensembleModifier

  • Tout sous-ensemble de   est fini et de cardinal inférieur à  .
  • Tout sous-ensemble strict de   est de cardinal strictement inférieur[2] à  .
  • Si   est un sous-ensemble de   alors le cardinal de son complémentaire est donné par la formule :
     
  • L'union et l'intersection de deux parties   et   de   sont reliées par la formule :
     

Opérations sur les ensemblesModifier

  • L'union disjointe de   et   est finie de cardinal la somme  .
  • Le produit cartésien de   et   est fini de cardinal le produit  .
  • L'ensemble des applications de   dans   est fini et de cardinal la puissance   (avec la convention   si les deux ensembles sont vides).
  • L'ensemble des parties de   est fini de cardinal  .
  • L'ensemble des injections de   dans   est vide si   et de cardinal donné par le quotient de factorielles   sinon.
  • En particulier, l'ensemble des permutations de   est de cardinal  .
  • Le cardinal de l'ensemble des surjections de   dans   est donné par la somme suivante (qui est nulle si   ) :
     

D'autres constructions usuelles à partir d'ensembles finis ont des cardinaux décrits par des formules explicites.

Article détaillé : combinatoire.

Cas dénombrableModifier

L'ensemble N des entiers naturels n'est pas fini, car l'application qui à chaque entier associe l'entier suivant est une bijection de N dans l'ensemble N* des entiers naturels non nuls, qui est un sous-ensemble strict.

Au-delà du dénombrableModifier

Le résultat qui fonde la théorie des nombres cardinaux est le théorème de Cantor qui montre qu'un ensemble n'est jamais équipotent à l'ensemble de ses parties, donc qu'il existe plusieurs et même une infinité de cardinalités infinies différentes.

Notes et référencesModifier

  1. Page 117, Dictionnaire des mathématiques par Alain Bouvier, Michel George et François Le Lionnais, 5e édition, 1996, Presses Universitaires de France (ISBN 978-2-13047821-8).
  2. Cette propriété est fausse dans le cas des ensembles infinis.