Calcul de la date de Pâques selon la méthode de Meeus

L'algorithme de Meeus pour le calcul de la date de Pâques est la réunion de deux méthodes : l'algorithme de Delambre pour le calendrier julien, publié en 1814 et l'algorithme de Butcher, pour le calendrier grégorien, publié en 1877.

En 1814, Delambre publie un algorithme simple et exact pour le calendrier julien[1].

L'histoire de l'algorithme de Butcher est curieuse : en 1876, un « correspondant de New York » inconnu envoie au journal Nature[2] un algorithme de la date de Pâques grégorienne pour une année quelconque. En 1877, Samuel Butcher, évêque de Meath, montre dans The ecclesiastical calendar[3] que cette méthode est exacte[Note 1] sans limite de date. L'algorithme est ensuite reproduit en 1922 par Harold Spencer Jones dans son Astronomie générale[4], en 1977 par Old Farmer's Almanac, en 1988 par Peter Duffett-Smith, de l'université de Cambridge[5] dans Practical Astronomy with your Calculator[6] et, en 1991, par Jean Meeus dans ses Algorithmes astronomiques[7].

Cet article présente de façon détaillée le calcul de la date de Pâques selon les méthodes de Delambre pour le calendrier julien et de Butcher pour le calendrier grégorien. Ces descriptions sont rédigées sous forme algorithmique, n'utilisant que des opérations arithmétiques élémentaires[Note 2] et sans référence à quelque langage de programmation que ce soit. L'utilisateur qui désire programmer ces algorithmes devra rechercher les instructions appropriées dans le langage qu'il utilise[Note 3]. Ces algorithmes ne nécessitent nulle programmation compliquée : l'usage d'un simple tableur est suffisant. Quoique ces méthodes de calcul aient fait l'objet de vérifications minutieuses, elles sont, en tout état de cause, fournies en l'état ; il appartient à l'utilisateur de s'assurer de leur exactitude et de leur adéquation à ses usages.

Calcul de la date de Pâques julienneModifier

Calcul de la date de Pâques julienne (326-) en calendrier julien (Algorithme de Delambre) [8]

Si Année ≥ 326 [Note 4] alors :
Date de Pâques julienne (algorithme de Delambre)
Dividende Diviseur Quotient Reste Expression
Année 19 A
Année 7 B
Année 4 C
19 A + 15 30 D
C + 4 B - D + 34 7 E
D + E + 114 31 F G
F est le mois de Pâques (3 = mars, 4 = avril) ;
G + 1 est le quantième, dans le mois ci-dessus, du dimanche de Pâques.


Exemple pour l'année 1492
Date de Pâques julienne en calendrier julien pour 1492 (algorithme de Delambre)
Dividende Valeur
Dividende
Diviseur Valeur
Diviseur
Quotient Valeur
Quotient
Reste Valeur
Reste
Année 1492 19 19 A 10
Année 1492 7 7 B 1
Année 1492 4 4 C 0
19 A + 15 205 30 30 D 25
C + 4 B - D + 34 13 7 7 E 6
D + E + 114 145 31 31 F 4 G 21
F = 4
Donc : Mois = avril
G = 21 ; G + 1 =22
Donc : Quantième = 22
Pâques est le .

Calcul de la date de Pâques grégorienneModifier

Calcul de la date de Pâques grégorienne en calendrier grégorien (1583-) (Algorithme de Butcher)'[9]

Si Année ≥ 1583[Note 5] alors :
Date de Pâques grégorienne (algorithme de Butcher)
Dividende Diviseur Quotient Reste Explication
Année 19 n cycle de Méton
Année 100 c u centaine et rang de l'année
c 4 s t siècle bissextile
c + 8 25 p cycle de proemptose
c - p + 1 3 q proemptose
19 n + c - s - q + 15 30 e épacte
u 4 b d année bissextile
t + 2 b - e - d + 32 7 L lettre dominicale
n + 11 e + 22 L 451 h correction
e + L - 7 h +114 31 m j mois et quantième du Samedi saint
Si m = 3, le dimanche de Pâques est le (j + 1) mars
Si m = 4, le dimanche de Pâques est le (j + 1) avril
Exemple pour l'année 2006
Date de Pâques grégorienne en 2006 (algorithme de Butcher)
Dividende Valeur
Dividende
Diviseur Valeur
Diviseur
Quotient Valeur
Quotient
Reste Valeur
Reste
Année 2006 19 19 n 11
Année 2006 100 100 c 20 u 6
c 20 4 4 s 5 t 0
c + 8 28 25 25 p 1
c - p + 1 20 3 3 q 6
19 n + c - s - q + 15 233 30 30 e 23
u 6 4 4 b 1 d 2
t + 2 b - e - d + 32 9 7 7 L 2
n + 11 e + 22 L 308 451 451 h 0
e + L - 7 h +114 139 31 31 m 4 j 15
m = 4, donc mois = avril
j = 15, donc le quantième du dimanche de Pâques est le 16.
Pâques est le .

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. C'est-à-dire respectant exactement la définition du concile de Nicée.
  2. Voir la section Mise en œuvre informatique de la division euclidienne
  3. Attention : les fonctions intégrées des langages de programmation pour l'arithmétique entière ne donnent pas toujours les résultats escomptés. Il faut être très vigilant à ce sujet. Voir à ce propos : Mise en œuvre informatique de la division euclidienne.
  4. Logiquement, la date de Pâques julienne n'a pas de sens avant sa définition par le Concile de Nicée en 325.
  5. Logiquement, la date de Pâques grégorienne n'a pas de sens avant 1583, le calendrier grégorien ayant pris effet le 15 octobre 1582 à Rome.

RéférencesModifier

  1. Jean-Baptiste, Joseph Delambre, Astronomie théorique et pratique ; Paris, Vve Courcier, 1814 ; vol. 3, p. 711. Fac-simile de l'Astronomie théorique et pratique sur Google Books.
  2. Nature, 1876 April 20, vol. 13, p. 487.
  3. Samuel Butcher, The Ecclesiastical Calendar ; Its theory and construction ; Dublin, Hodges, Foster and Figgis, 1877, p. 225. Fac-simile sur Google Books. (livre posthume publié par ses fils)
  4. H. Spencer Jones, General Astronomy ; London, Longsman, Green, 1922 ; p. 73. Fac-simile sur Google Books.
  5. Voir sa page personnelle ici
  6. Peter Duffet-Smith Practical Astronomy with your Calculator, Cambridge University Press, 2 février 1989, 3e édition, 200 pages, (ISBN 978-0521356992)
  7. Jean Meeus, Astronomical Algorithms ; Richmond (Virginia, États-Unis), Willmann-Bell, 1991, pp. 67–69.
  8. Jean Meeus, Astronomical algorithms, William Bell, Richmond (Virginia, États-Unis), 1991, (ISBN 0-943396-35-2), p. 69
  9. Jean Meeus, Astronomical algorithms, William Bell, Richmond (Virginia, États-Unis), 1991, (ISBN 0-943396-35-2), p. 67

Articles connexesModifier