Anneau de cohomologie

anneau topologique

En mathématiques, plus précisément en topologie algébrique, l'anneau de cohomologie d'un espace topologique X est un anneau composé des groupes de cohomologie de X, et dont l'opération de multiplication est le cup-produit. Dans ce cadre, la 'cohomologie' désigne généralement la cohomologie singulière, mais la structure d'anneau est aussi présente dans d'autres théories, comme la cohomologie de De Rham. Il est également fonctoriel : on peut trouver un morphisme d'anneaux continue, lequel est contravariant.

Soit une suite de groupes de cohomologie sur à coefficients dans un anneau commutatif (par exemple, on peut prendre ). On peut alors définir le cup-produit :

Le cup-produit donne une opération de multiplication sur la somme directe des groupes de cohomologie.

Muni de cette opération de multiplication, devient un anneau. En fait, c'est même une algèbre -graduée, de degré .

L'anneau de cohomologie est gradué-commutatif, au sens où ses éléments commutent au signe près, lequel est déterminé par leur degré. Plus précisément, pour des éléments de degrés , on a :

Un invariant numérique dérivé de l'anneau de cohomologie est la longueur de cup, qui désigne le nombre maximal d'éléments gradués de degrés supérieurs à 1 qui ne s'annulent pas lorsque multipliés. Par exemple, un espace projectif complexe a une longueur de cup égale à sa dimension.

Exemples

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Voir aussi

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Références

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