Algèbre enveloppante

une algèbre de Hopf associée à une algèbre de Lie

En mathématiques, on peut construire l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie . Il s'agit d'une algèbre associative unitaire qui permet de rendre compte de la plupart des propriétés de .

Algèbres de LieModifier

Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Une algèbre de Lie   sur K est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire   de   dans   qui vérifie les propriétés suivantes :

  1.   ;
  2.  .

Tout espace vectoriel   peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant  . Une telle algèbre de Lie, où le crochet de Lie est identiquement nul, est appelée abélienne.

Un autre exemple, fondamental pour ce qui suit, est le suivant. Soit V un espace vectoriel sur K. L'algèbre associative   des endomorphismes de V peut être munie d'une structure d'algèbre de Lie, en posant :  . On note également   l'algèbre de Lie ainsi obtenue. Lorsque V est de dimension finie n,   s'identifie aux matrices de taille   à coefficient dans K. On la note alors  .

La construction d'une algèbre enveloppante répond au problème réciproque : à partir d'une algèbre de Lie  , peut-on construire une algèbre associative dont le commutateur correspond au crochet de Lie de   ?

L'algèbre enveloppanteModifier

ConstructionModifier

À partir de l'algèbre de Lie  , on peut construire le produit tensoriel   et plus généralement  . On note par convention  . On considère alors l'algèbre tensorielle de  , définie par  . On note   l'application canonique de   dans  . L'algèbre tensorielle satisfait une propriété universelle : pour toute application linéaire   de   dans une algèbre associative unitaire A, il existe un unique morphisme d'algèbres   tel que   et  .


Pour construire l'algèbre enveloppante, il faut encore tenir compte de la structure d'algèbre de Lie de  . On veut donc forcer   à être égal à  . Plus formellement, soit J l'idéal bilatère engendré par les  , pour  . L'algèbre enveloppante   est alors le quotient de   par l'idéal J. L'injection canonique de   dans   passe au quotient et fournit alors un morphisme  .

Notons   l'image de   dans  . Lorsque l'algèbre de Lie   est de dimension finie,   est un sous-espace vectoriel de dimension finie de  . Dans tous les cas, on a la filtration suivante :  .


Exemple Considérons l'algèbre de Lie abélienne K, de dimension 1. Dans ce cas, le crochet de Lie est identiquement nul. L'idéal J est alors engendré par les vecteurs  , pour  . On vérifie alors dans ce cas que   (l'algèbre des polynômes en une indéterminée).


Propriété universelleModifier

Comme pour l'algèbre tensorielle, on peut caractériser l'algèbre enveloppante de   par une propriété universelle :

Propriété universelle de l'algèbre enveloppante —  Soit   une application linéaire de   dans une algèbre associative avec unité A telle que

 , pour tout  . Alors il existe un unique morphisme d'algèbres   tel que   et  .

Remarque L'unicité provient du fait que   est engendrée par 1 et  . L'existence s'obtient à partir de la propriété universelle de l'algèbre tensorielle.


Cette propriété universelle a une conséquence importante en théorie des représentations, à savoir toute représentation de   dans un espace vectoriel V s'étend de manière unique en un morphisme d'algèbres entre   et  .


Théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt et ses conséquencesModifier

Le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt(PBW) donne une base de l'algèbre enveloppante et ainsi permet de mieux en comprendre la structure. Pour en simplifier un peu l'énoncé, nous le donnons pour une algèbre de Lie de dimension finie.

Théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt —  L'application   est injective. Soit   une base de  . Alors les monômes  ,  , forment une base de  .

Voici quelques conséquences importantes de PBW :

  • Soit   une sous-algèbre de Lie de  . Alors   s'identifie à une sous-algèbre associative de  .
  • Supposons que   soit la somme directe de deux sous-algèbres :  . Alors l'algèbre   est isomorphe au produit tensoriel  .
  • Soit   l'algèbre de Lie abélienne de dimension n. Alors   est isomorphe à l'algèbre de polynômes  .
  • Soit V un espace vectoriel. Tout morphisme d'algèbres de   dans   donne par restriction une représentation de   dans V. En tenant compte de la remarque de la partie précédente, cela fournit une équivalence de catégories entre la catégorie des représentations de   et celle des représentations de l'algèbre  .


Dans certains cas, il est possible de décrire explicitement l'algèbre enveloppante. Soit G un groupe de Lie réel, d'algèbre de Lie  . Notons   le complexifié de  . Soit  . On construit alors l'opérateur différentiel   sur   par :

 , pour   et  . L'opérateur   est un exemple d'opérateur différentiel invariant à gauche (i.e. commutant avec les translations à gauche par des vecteurs de G). Notons D(G) l'ensemble des opérateurs différentiels invariants à gauche. On a donc une application  . Cette application s'étend en une application de   dans D(G). Cette application définit par propriété universelle un morphisme d'algèbres de   dans D(G). Ce morphisme est un fait un isomorphisme. Ainsi l'algèbre enveloppante de   s'identifie avec l'algèbre des opérateurs différentiels invariants à gauche sur G.


Exemple Regardons le cas simple de l'algèbre de Lie  . Le groupe de Lie   a pour algèbre de Lie  , qui a pour complexifié  . Ici   est l'espace usuel des fonctions   à valeurs dans  . Ainsi, pour  , l'opérateur   est donné par  . Autrement dit, l'opérateur est donné par  . D'autre part, un opérateur différentiel   sur G est invariant à gauche si et seulement si  . Ainsi, on a  , ce qui identifie   avec  , qui est isomorphe à   comme nous l'avons déjà remarqué.

Représentation adjointeModifier

L'algèbre de Lie   agit sur elle-même via la représentation adjointe   définie par  , pour  . Cette représentation s'étend en une représentation de   sur son algèbre enveloppante, via la formule  , pour   et  . Cette représentation laisse stable les sous-espaces   et donc aussi les quotients  . Lorsque   est de dimension finie,   est aussi de dimension finie. Cela fournit donc toute une famille de représentations de dimension finie de  .

L'algèbre symétriqueModifier

Un autre quotient de l'algèbre tensorielle joue un rôle important : l'algèbre symétrique. Soit I l'idéal bilatère de   engendré par les vecteurs  . L'algèbre symétrique   est l'algèbre quotient  . C'est une algèbre associative et commutative. On note toujours   l'application canonique de   dans  . Comme pour l'algèbre enveloppante, l'algèbre symétrique satisfait une propriété universelle :

Propriété universelle de l'algèbre symétrique —  Soit C une algèbre associative et commutative, avec unité. Pour toute application linéaire  , il existe un unique morphisme d'algèbres   tel que   et  .

Les deux algèbres symétrique et enveloppante sont reliées par une application de symétrisation. En effet, on construit une application   comme suit :

   désigne le groupe des permutations de n éléments. En fait, l'application Sym est un isomorphisme linéaire de   sur   (la structure d'algèbre n'est pas conservée en général car   n'est pas commutative lorsque l'algèbre de Lie   n'est pas abélienne).

Structure d'anneau de l'algèbre enveloppanteModifier

On suppose dans cette partie que le corps de base K est de caractéristique nulle.

GénéralitésModifier

L'algèbre enveloppante   est en particulier un anneau. L'étude de cette structure d'anneau est fondamentale en théorie des représentations. L'anneau U est sans diviseur de zéro (autrement dit le produit de deux éléments non nuls de U est également non nul). L'anneau U est noethérien : toute suite croissante d'idéaux est stationnaire. Cependant U n'est pas artinien : par exemple, l'idéal bilatère engendré par   contient l'idéal engendré par  , qui contient l'idéal engendré par  , etc.

Centre de l'algèbre enveloppanteModifier

Le centre de l'algèbre enveloppante est  . En fait, comme   engendre  , on a aussi  . Même lorsque l'algèbre de Lie   a un centre trivial, l'algèbre enveloppante peut avoir un centre non trivial (voire gros).

Exemple Soit   l'algèbre de Lie des marices complexes de taille  , de trace nulle. Une base de   est donnée par les matrices suivantes :

 

Le vecteur suivant est un élément du centre   :  . Plus précisément, on peut démontrer que  . Autrement dit, le vecteur   engendre l'algèbre  . Ceci est un cas particulier d'un résultat de Harish-Chandra et d'un résultat de Chevalley sur le centre des algèbres enveloppantes des algèbres de Lie semi-simples.


L'algèbre   joue un rôle fondamental en théorie des représentations. En effet, le lemme de Schur affirme que tout opérateur qui commute à une représentation irréductible d'une algèbre de Lie complexe est une homothétie. D'après ce qui précède, si   est une représentation irréductible de l'algèbre de Lie complexe  , alors l'opérateur   associé à n'importe quel vecteur Z de   commute à tous les  ,  . Donc   est une homothétie. Ceci est vrai pour tout Z dans le centre de l'algèbre enveloppante. On obtient ainsi un caractère du centre, c'est-à-dire un morphisme d'algèbres de   dans  , que l'on appelle le caractère infinitésimal de la représentation  . Ainsi l'étude des caractères du centre de l'algèbre enveloppante fournit des informations importantes pour l'étude des représentations irréductibles de  .

Idéaux de l'algèbre enveloppanteModifier

Toute représentation de   s'étend canoniquement en une représentation de  , c'est-à-dire un morphisme d'algèbres  . Le noyau de   est un idéal de  . D'autre part, si la représentation   est irréductible (ou même seulement cyclique), il existe un vecteur v de V tel que l'application  , soit surjective. La représentation V s'identifie alors avec le quotient de   par le noyau de cette application. Ces deux faits montrent l'importance de comprendre les idéaux de  .

RéférencesModifier

  • N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie
  • Jacques Dixmier, Algèbres enveloppantes Éditions Jacques Gabay, Paris, 1996. (ISBN 2-87647-014-4)
  • James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. (ISBN 0-387-90053-5)
  • Nathan Jacobson, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. (ISBN 0-486-63832-4)
  • Anthony Knapp, Representation theory of semisimple groups: an overview based on examples, Princeton University Press, 2001. Reprint of the 1986 original. (ISBN 0-691-09089-0)

Voir aussiModifier