Étoile-produit

En physique mathématique, l'étoile-produit est un opérateur mathématique sur une variété de Poisson pour déformer la multiplication de l'algèbre des fonctions lisses à valeurs complexes en une algèbre associative non commutative.

L'opérateur est une quantification de déformation, une formalisation mathématique de la quantification issue de la physique.

DéfinitionsModifier

Déformation formelleModifier

Soit   un anneau commutatif et   une algèbre sur un anneau. Soit   l'anneau des séries formelles et   l'algèbre des séries formelles sur   avec les coefficients dans  .

La déformation formelle   de l'opérateur de multiplication   de l'algèbre   est une application  -bilinéaire[1]

 

tel que pour tout  

 

  est la multiplication des séries formelles:

 

Étoile-produitModifier

Soit   une variété de Poisson, où   est un tenseur de Poisson.

L'étoile-produit   est une déformation formelle sur  , c'est-à-dire une multiplication  -bilinéaire[2]

 

de la forme

 

  sont des applications  -bilinéaire

 

vérifiant les axiomes:

  1.   est associative:   pour tout  .
  2.  .
  3.   (où   est le crochet de Poisson).
  4.   pour tout  .

PropriétésModifier

Si les   sont des opérateurs bidifférentiels,   est appelé un étoile-produit différentiel.

Si les   sont des opérateurs bidifférentiels d'ordre   est dans chaque argument,   est appelé un étoile-produit naturel.

On appelle un   du type Weyl, si   et   est hermitien, c'est-à-dire   (avec la convention  ).

ExempleModifier

 
pour   est un étoile-produit sur   avec une forme symplectique canonique   et la constante de Planck  .

ExistenceModifier

Sur les variétés symplectiquesModifier

De Wilde et Lecomte ont prouvé qu'un étoile-produit différentiel existe sur chaque variété symplectique.[3]

Sur les variétés de PoissonModifier

Maxime Kontsevitch a prouvé que toute variété de Poisson de dimension finie peut être quantifiée, ce qui implique l'existence de étoile-produit différentiel sur des variétés de Poisson arbitraires.[4]

LittératureModifier

RéférencesModifier

  1. (en) Chiara Esposito, Formality Theory, Springer Verlag, (ISBN 978-3-319-09289-8)
  2. (de) Stefan Waldmann, Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung, Springer Verlag, (ISBN 978-3-540-72517-6)
  3. Marc de Wilde et Pierre B. A. Lecomte, « Existence of star-products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds », Letters in Mathematical Physics, vol. 7, no 6,‎ (DOI 10.1007/BF00402248)
  4. Maxime Kontsevitch, « Deformation Quantization of Poisson Manifolds », Letters in Mathematical Physics, vol. 66, no 3,‎ (DOI 10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf, arXiv q-alg/9709040v1)