Équations de Lagrange

reformulation de la mécanique classique

Les équations de Lagrange[1],[2],[3], découvertes en 1788 par le mathématicien Joseph-Louis Lagrange, sont une reformulation de la mécanique classique.

Équations de première espèceModifier

Il s'agit d'une reformulation de l'équation de Newton, qui ne fait pas intervenir les forces de réaction.

Pour cela, on exprime les contraintes que subit la particule étudiée sous la forme d'équations du type :  

Il n'y a qu'une équation si le mouvement est contraint à une surface, deux s'il est contraint à une courbe.

Par exemple, pour le pendule simple, on a la contrainte  . Si de plus le mouvement se fait dans le plan Oxz, on rajoute l'équation  

On fait l'hypothèse selon laquelle les forces de réaction (hors frottements) sont orthogonales à la surface ou courbe de contrainte, elles s'écrivent alors sous la forme

 

Les équations du mouvement sont donc

 
 

Équations de deuxième espèceModifier

En mécanique lagrangienne, la trajectoire d'un objet est obtenue en cherchant à minimiser une certaine quantité, appelée action. Le principe de moindre action indique qu'un objet suit la trajectoire qui minimise l'action à chaque instant et les équations de Lagrange reformulent dans ce contexte les lois de la mécanique classique découvertes par Isaac Newton.

En mécanique, les équations de Lagrange permettent d'obtenir très facilement les équations du mouvement d'un système complexe sans avoir à utiliser la notion de force.

Pour un système à   degrés de liberté décrit par   coordonnées généralisées  , on exprime le lagrangien   à partir des coordonnées généralisées   et de leurs dérivées par rapport au temps   comme la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. Comme le temps peut figurer explicitement dans le lagrangien, il dépend finalement de   variables.

Lorsqu'aucun effort extérieur n'est appliqué sur le système, les équations de Lagrange ont la forme suivante :


 

Ces équations peuvent se déduire directement des lois de la mécanique classique. Il y a une équation pour chaque coordonnée généralisée  . L'un des intérêts de ces équations est de pouvoir choisir le système de variables le plus adapté pour décrire le système.

En mécanique classique, le paramètre est le temps et ces équations sont les équations de Lagrange proprement dites.

Si le paramètre est la longueur de la trajectoire, ces équations fournissent l'équation géodésique.

Établissement des équationsModifier

Étant donné un système de coordonnées quelconque  , une variable   permettant de paramétrer les trajectoires, on considère une fonction   qui ne dépend que des variables   et leur dérivée totale par rapport à  ,  . On veut trouver les trajectoires   d'extrémités données   et  , qui minimisent l'intégrale

 

Considérons une trajectoire infiniment voisine   avec   un infiniment petit et  . Supposant que les solutions sont trouvées et   donné, la fonction

 

est minimale pour   :

 

Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale et profitant du fait que   a été supposée nulle aux bornes, on a

 .

Comme la fonction   est quelconque, on doit avoir

 

Efforts extérieursModifier

Lorsque les forces   appliquées dérivent d'un potentiel généralisé  , c'est-à-dire vérifiant

 

l'équation ci-dessus reste valable, avec le lagrangien  

Lorsqu'une force   ne dérivant pas d'un potentiel généralisé est appliquée sur le système au point  , les équations de Lagrange deviennent :

  

Un exemple de force dérivant d'un potentiel généralisé mais pas d'un potentiel classique est la force de Lorentz :

  avec  

En revanche, la force de frottement fluide   ne dérive d'aucun potentiel, même généralisé.

AnnexesModifier

Articles connexesModifier

Exemples

Liens externesModifier

Notes et référencesModifier

  1. (en) Herbert Goldstein, Classical Mechanics
  2. Claude Gignoux, Bernard Silvestre-Brac, De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien
  3. Joseph Louis Lagrange, Mécanique analytique (lire en ligne)