Dérivée totale

En analyse, la dérivée totale d'une fonction est une généralisation du nombre dérivé pour les fonctions à plusieurs variables. Cette notion est utilisée dans divers domaines de la physique et tout particulièrement en mécanique des milieux continus et en mécanique des fluides dans lesquels les grandeurs dépendent à la fois du temps et de la position.

DéfinitionModifier

Soit   une fonction à plusieurs variables et  ,  ,   fonctions de  . Si elle existe, la dérivée totale[1],[2],[3] par rapport à   de la fonction composée   s'exprime à partir de l'expression de la différentielle :

 .

Elle est notée   et ne doit pas être confondue avec la dérivée partielle notée  .

Dérivée particulaireModifier

Dans le cas où la fonction   dépend directement du temps en plus de la position, la dérivée totale s'écrit :

 ,
 ,

 est l'opérateur advection.

En mécanique des fluides, la première partie correspond à la variation locale tandis que la deuxième partie correspond à la variation liée au déplacement de la particule fluide (contribution dite advective ou convective). Parfois notée  , la dérivée totale par rapport au temps est également qualifiée de dérivée particulaire[4], de dérivée convective[1], de dérivée substantielle, de dérivée matérielle ou de dérivée suivant le mouvement.

RéférencesModifier

  1. a et b Pascal Febvre, Richard Taillet et Loïc Villain, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Superieur, , 899 p. (ISBN 978-2-8041-7554-2, lire en ligne).
  2. Thierry Alhalel, Laurent Chancogne et Florent Arnal, Mathématiques IUT 2e année : L'essentiel du cours, exercices avec corrigés détaillés, Dunod, , 240 p. (ISBN 978-2-10-059756-7, lire en ligne).
  3. Heinrich Matzinger, Aide-mémoire d'analyse, PPUR presses polytechniques, , 181 p. (ISBN 978-2-88074-444-1, lire en ligne).
  4. José-Philippe Pérez et Olivier Pujol, Mécanique : fondements et applications - 7e édition : Avec 320 exercices et problèmes résolus, Dunod, , 800 p. (ISBN 978-2-10-072189-4, lire en ligne).

Articles connexesModifier