Ouvrir le menu principal

En mathématiques, le problème de Dirichlet est de trouver une fonction harmonique définie sur un ouvert de prolongeant une fonction continue définie sur la frontière de l'ouvert . Ce problème porte le nom du mathématicien allemand Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Exposé du problèmeModifier

Problème de Dirichlet — Soit   un ouvert de   et   sa frontière.

Soit   continue.

Peut-on trouver   telle que :

  •   de classe   et   (  vérifie l'équation de Laplace) ;
  •   continue sur   ;
  •   sur   ?

Il n'existe pas toujours de solution au problème de Dirichlet.

Solutions au problèmeModifier

Exemple : solution sur un disque dans  Modifier

Dans cette partie :  , où   est le disque de centre 0 et de rayon 1.

Dans le cas précis du disque dans  , il existe une solution au problème de Dirichlet, définie ci-dessous.

On a toujours   continue sur  .

On pose :   (ou   est le tore).

La solution est   définie telle que :

 

  est coefficient de la série de Fourier de la fonction g.

 

Preuve :

La continuité de la fonction ainsi que le fait qu'elle soit réelle découle des résultats sur les sommations de Poisson, liés aux séries de Fourier.

  vérifie l'équation de Laplace car elle en fait la partie réelle d'une fonction analytique. On remarque en effet que   s'exprime comme la somme de deux fonctions analytiques et qu'elle est réelle. Or la partie réelle d'une fonction analytique vérifie toujours l'équation de Laplace.

Unicité de la solution pour   bornéModifier

Lorsque le problème admet une solution et que   est borné, celle-ci est unique.

Preuve :

Soient   et   deux fonctions définies de   sur   telles que   et   répondent au problème de Dirichlet.

On pose  

Calculons    est un élément infinitésimal de  

On obtient :  

Or  

On applique à présent le théorème de la divergence et obtient :

   est le vecteur normal à la surface   et   un élément infinitésimal de  

  car   sur  

Conclusion :

 

et donc  ,   est constante, et par continuité   sur   car   sur  

Dans le cas de   non borné, il peut y avoir des pathologies: typiquement, si l'on considère le plan   privé du disque unité. Les fonctions   et   coïncident sur la frontière du domaine et sont harmoniques.

Forme de la solution généraleModifier

On a l'équivalence suivante :

 

Le premier sens de l'équivalence se prouve de manière similaire à l'unicité de la solution.

Dirichlet avait déjà trouvé cette équivalence et il en avait déduit que le problème avait toujours une solution (c'est ce qu'on appelle le principe de Dirichlet). En effet, il lui semblait évident que l'on pouvait minimiser l'intégrale. Riemann et Gauss étaient de son avis. Weierstrass montra avec un contre-exemple que ce n'était pas toujours possible.

Article connexeModifier