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Nombres p-adiques modifier

prérequis modifier

Soit $p$ un nombre premier.

On indentifie $\{0\ldots p^{n}-1\}$ avec $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ qui est un anneau commutatif avec l'addition et la multiplication modulo $p^{n}$ .

Il y a une fonction naturelle $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ quand $m<n$ . Si l'on connait la valeur de $c{\bmod {p}}^{n}$ alors on connait aussi celle de $c{\bmod {p}}^{m}$ pour tout $m<n$ .

Un élément $c\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ est inversible (dans l'anneau $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ ) si et seulement si $c\not \equiv 0{\bmod {p}}$ .

Définition modifier

On considère l'ensemble noté $\mathbb {Z} _{p}$ des suites

$a=(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ),\qquad a_{n}\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,\qquad a_{n}\equiv a_{m}{\bmod {p}}^{m}(m\leq n)$

$\mathbb {Z} _{p}$ devient un anneau commutatif intègre avec l'addition et la multiplication

$(a+b)_{n}\equiv a_{n}+b_{n}{\bmod {p}}^{n},\qquad (ab)_{n}\equiv a_{n}b_{n}{\bmod {p}}^{n}$

Dans $\mathbb {Z} _{p}$ les éléments neutres de l'addition et de la multiplication sont simplement les suites constantes égales à $0$ et $1$ :

$0_{\mathbb {Z} _{p}}=(0,0,0,\ldots ),\qquad 1_{\mathbb {Z} _{p}}=(1,1,1,\ldots )$

Comme dans tout anneau, on peut multiplier un élément $a\in \mathbb {Z} _{p}$ par un entier $k\in \mathbb {Z}$ :

$ka=\underbrace {a+\ldots +a} _{k},\qquad (ka)_{n}\equiv ka_{n}{\bmod {p}}^{n}\qquad (k\in \mathbb {Z} ,a\in \mathbb {Z} _{p}),\qquad (-k)a=\underbrace {(-a)+\ldots +(-a)} _{k}$

Une autre façon de dire la même chose est de considérer la fonction

$\varphi :\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{p},\qquad \varphi (k)=k1_{\mathbb {Z} _{p}}=(k{\bmod {p}}^{1},k{\bmod {p}}^{2},k{\bmod {p}}^{3},\ldots )$

Important : vérifier que $\varphi$ est un morphisme injectif d'anneau, c'est à dire que

$\varphi (ak+bm)=\varphi (k)\varphi (a)+\varphi (m)\varphi (b),\qquad k\neq 0\implies \varphi (k)\neq 0_{\mathbb {Z} _{p}}\qquad (a,b,m,k)\in \mathbb {Z}$

Donc dans un certain sens, $\mathbb {Z} _{p}$ contient $\mathbb {Z}$ . Mais il contient aussi une bonne partie de $\mathbb {Q}$ ,

car si (et seulement si) $a_{1}\not \equiv 0{\bmod {p}}$ alors chaque $a_{n}$ est inversible ${\bmod {p}}^{n}$ , si bien qu'il existe une unique suite $b_{n}\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ telle que

$\forall n,\quad a_{n}b_{n}\equiv 1{\bmod {p}}^{n}\quad \Longleftrightarrow \quad ab=1_{\mathbb {Z} _{p}}$

(pour vérifier que $b=(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots )$ est bien un élément de $\mathbb {Z} _{p}$ , il suffit de vérifier que $b_{n}\equiv b_{m}{\bmod {p}}^{m},m<n$ )

on peut donc étendre $\varphi$ aux rationnels de la forme ${\frac {k}{m}},p\nmid m$ :

$\varphi ({\frac {k}{m}})_{n}\equiv km^{-1}{\bmod {p}}^{n},\qquad (k,m\in \mathbb {Z} )$

Et cela reste un morphisme injectif d'anneaux $\mathbb {Q} \setminus {\frac {\mathbb {Q} }{p}}\to \mathbb {Z} _{p}$

La division par $p$ , le corps $\mathbb {Q} _{p}=\mathbb {Z} _{p}[p^{-1}]$ modifier

De plus si $r\in \mathbb {Z} _{p}$ et $r_{1}\equiv 0{\bmod {p}}$ alors tous les $r_{n}$ sont divisibles par $p$ . Il existe donc un unique élément $s\in \mathbb {Z} _{p}$ tel que

$\forall n,r_{n}\equiv ps_{n}{\bmod {p}}^{n}\quad \implies \quad r=ps{\text{ dans }}\mathbb {Z} _{p}$

Le fait que $r=ps$ suggère que $s=p^{-1}r$ . Mais $p^{-1}$ n'est pas dans $\mathbb {Z} _{p}$ .

La solution est simplement de l'ajouter, pour obtenir un nouvel anneau noté $\mathbb {Z} _{p}[p^{-1}]$ dont les éléments sont de la forme

$\alpha =p^{-i}a,\qquad a\in \mathbb {Z} _{p},i\in \mathbb {N}$

l'addition et la multiplication dans $\mathbb {Z} _{p}[p^{-1}]$ est similaire à celle des fractions :

$p^{-i}a+bp^{-j}=p^{-i-j}(p^{j}a+p^{i}b),\qquad (p^{-i}a)(p^{-j}b)=p^{-i-j}ab$

Chaque élément non nuls de $\mathbb {Z} _{p}[p^{-1}]$ peut s'écrire de manière unique sous la forme

$p^{-i}a,\qquad a\in \mathbb {Z} _{p}^{\times },i\in \mathbb {Z}$

(où $\mathbb {Z} _{p}^{\times }$ est l'ensemble des éléments inversibles de $\mathbb {Z} _{p}$ , donc ceux tels que $a_{1}\not \equiv 0{\bmod {p}}$ )

on s'aperçoit que tout élément non nul de $\mathbb {Z} _{p}[p^{-1}]$ est inversible :

$(p^{-i}a)^{-1}=p^{i}a^{-1}$

Ainsi l'anneau commutatif $\mathbb {Z} _{p}[p^{-1}]$ est un corps commutatif, que l'on note $\mathbb {Q} _{p}$ .

Deux écritures pour les élements de $\mathbb {Q} _{p}$ , norme $p$ -adique $|.|_{p}$ modifier

On a vu qu'on pouvait écrire n'importe quel élément de $a\in \mathbb {Q} _{p}$ sous la forme $a=p^{i}A,i\in \mathbb {Z} ,A\in \mathbb {Z} _{p}^{\times }$ . On définit alors une valeur absolue $|.|_{p}$ qui va nous permettre de parler de convergence dans $\mathbb {Z} _{p}$ et $\mathbb {Q} _{p}$ :

$|.|_{p}:\mathbb {Q} _{p}\to \mathbb {R} ,\qquad |a|_{p}=|p^{i}A|_{p}=p^{-i},\qquad (A\in \mathbb {Z} _{p}^{\times })$

Avec le cas spécial $|0_{\mathbb {Z} _{p}}|_{p}=0$ on trouve que cette valeur absolue (ou norme) en est bien une : elle est multiplicative et sous-additive

$|ab|_{p}=|a|_{p}|b|_{p},\qquad |a+b|_{p}\leq |a|_{p}+|b|_{p},\qquad (a,b)\in \mathbb {Q} _{p}$

On peut donc considérer les suites qui sont de Cauchy pour $|.|_{p}$ , et "compléter" $\mathbb {Q} _{p}$ (ou $\mathbb {Z} _{p}$ ) pour cette métrique. On trouve alors que ces anneaux sont déjà complets.

écriture sous forme de série $p$ -adique modifier

Soit $\alpha =p^{-i}a\in \mathbb {Q} _{p},\ a=(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\in \mathbb {Z} _{p}$ . On considère la série $p$ -adique :

$\sum _{n=0}^{\infty }{\tilde {a}}_{n}p^{n-i},\qquad {\tilde {a}}_{n}={\frac {a_{n}-a_{n-1}}{p^{n-1}}}\in \{0,\ldots p-1\}$

On montre alors par récurrence que

$\left|a-\sum _{n=0}^{N}{\tilde {a}}_{n}p^{n}\right|_{p}=p^{-N},\qquad \left|\alpha -\sum _{n=0}^{N}{\tilde {a}}_{n}p^{n-i}\right|_{p}=p^{i-N}$

donc que la série précédente converge vers $\alpha$ .

densité modifier

$\sum _{n=0}^{N}{\tilde {a}}_{n}p^{n}$ est un entier naturel, on a donc montré que $\mathbb {N}$ est dense dans $\mathbb {Z} _{p}$ , et que $\bigcup _{i\in \mathbb {N} }p^{-i}\mathbb {N}$ est dense dans $\mathbb {Q} _{p}$ .

On dit aussi que $\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}$ sont respectivement la complétion $p$ -adique des anneaux $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q}$ .

Enfin on peut définir $\mathbb {Z} _{p}$ comme la boule unité de $\mathbb {Q} _{p}$ :

$\mathbb {Z} _{p}=\{\alpha \in \mathbb {Q} _{p},|\alpha |_{p}\leq 1\}$

Analogue $p$ -adique des fonctions analytiques à coefficients rationnels, lemme de Hensel modifier

Soit une fonction analytique complexe $f(z),z\in \mathbb {C}$ définie par une série entière à coefficients rationnels :

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n},\qquad c_{n}\in \mathbb {Q}$

On peut alors regarder si la série $p$ -adique

$f_{p}(a)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}a^{n},\qquad a\in \mathbb {Q} _{p}$

est de Cauchy donc converge dans $\mathbb {Q} _{p}$ . Pour cela en général on regarde si la série

$\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|_{p}p^{-nk}$

converge (dans $\mathbb {R}$ ) pour un certain $k$ . Dans ce cas $f(p^{k}a)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}p^{nk}a^{n}$ converge pour $|a|_{p}\leq 1$ donc pour $a\in \mathbb {Z} _{p}$ .

On a ainsi les analogues $p$ -adiques $\exp _{p},\cos _{p},\sin _{p},\log _{p},\tan _{p},{\text{atan}}_{p}$ .

Cela amène à des constatations utiles, par exemple lorsqu'on considère la série binomiale $p$ -adique

$(1+pa)^{1/k}=\sum _{n=0}^{\infty }{1/k \choose n}p^{n}a^{n},\qquad k\in \mathbb {Z} ,a\in \mathbb {Z} _{p}$

qui converge vers un élément de $\mathbb {Z} _{p}$ . Cela montre donc que ${\sqrt[{k}]{1+pa}}\in \mathbb {Z} _{p}$ . Ceci caractérise d'ailleurs les éléments de la forme $1+ap,a\in \mathbb {Z} _{p}$ et ce indépendemment de la valeur absolue $|.|_{p}$ qu'on a utilisée pour le montrer, ce qui prouve qu'il n'existe pas d'autre valeur absolue dans $\mathbb {Q} _{p}$ .

Avec une approche totalement différente,le lemme de Hensel donne un critère très général pour savoir si une équation algébrique a une solution dans $\mathbb {Q} _{p}$ .

${\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$ Cloture algébrique de $\mathbb {Q} _{p}$ et complétion $\mathbb {C} _{p}$ modifier

Par un argument de cardinalité ( $\mathbb {Q} _{p}$ étant non dénombrable) on trouve que certains éléments de $\mathbb {Q} _{p}$ ne sont pas algébriques (par rapport à $\mathbb {Q}$ ).

On regarde ensuite les polynômes de $\mathbb {Q} _{p}[X]$ , ceux qui sont irréductibles, les extensions finies $K/\mathbb {Q} _{p}$ et leurs groupes de Galois. On étend naturellement $|.|_{p}$ à ces extensions finies par $|\alpha |_{p}=|\prod _{i=1}^{d}\alpha _{i}|_{p}^{1/d}$ où les $\alpha _{i}$ sont les conjugués Galoisiens, donc les racines du polynôme minimal de $\alpha$ .

On trouve que même si $\mathbb {Q} _{p}$ est complet pour la norme $p$ -adique, sa clôture algébrique ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$ ne l'est pas. On note alors $\mathbb {C} _{p}$ sa complétion : qui est un corps algébriquement clos et complet, tout comme $\mathbb {C}$ , même si les propriétés de ces deux corps sont très différentes.

Ce qu'on a vu sur les analogues $p$ -adiques des fonctions analytiques à coefficients rationnels prend un sens plus large lorsqu'on regarde leur extension à $\mathbb {C} _{p}$ .