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En physique statistique, l'ansatz de Bethe est une technique de résolution par ansatz introduite par Hans Bethe. Cet ansatz a été Le mot ansatz vient de l'allemand et signifie approche, essai.

Historique modifier

L'ansatz de Bethe a été introduit par Hans Bethe en 1931^[1] dans le but de résoudre le modèle d'Heisenberg en une dimension qui est un modèle-jouet modélisant un métal composé d'atomes possédant chacun un électron libre. Les électrons interagissent entre-eux entre plus proches voisins Ce modèle trouver les vecteurs propres et .

Formulation modifier

La formulation la plus simple de l'ansatz de Bethe, qui fut sa première utilisation consiste a été l'étude de l'Hamiltonien d'Heisenberg. Celui-ci est un modèle quantique modélise des spins situé sur une chaine dont l'interaction se fait entre plus proches voisins. Il est donné par

$H=\sum _{j=1}^{L}\sigma _{j}^{x}\sigma _{j+1}^{x}+\sigma _{j}^{y}\sigma _{j+1}^{y}+\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}$

où $\sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ , $\sigma ^{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ et $\sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ sont les matrices de Pauli. Cet Hamiltonien peut être réécrit à l'aide des matrices $\sigma ^{+}={\frac {1}{2}}(\sigma ^{x}+i\sigma ^{y})={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ et $\sigma ^{-}={\frac {1}{2}}(\sigma ^{x}-i\sigma ^{y})={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

$H=\sum _{j=1}^{L}2\sigma _{j}^{+}\sigma _{j+1}^{-}+2\sigma _{j}^{-}\sigma _{j+1}^{+}+\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}$

Le but est de trouver les états propres de $H$ , notés $|\Psi \rangle$ vérifiant $H|\Psi \rangle =E|\Psi \rangle$

Hamiltonien diagonalisable par blocs de magnétisation constante.

On appelle magnétisation totale la somme de spins up moins le nombre de spins down.

État de magnétisation N modifier

L'état de magnétisation le plus élevé est l'état composé de spins up sur chaque site : $|\psi ^{(N)}\rangle =|\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \rangle$ . L'énergie de cet état se calcule en lui appliquant l'hamiltonien : $E^{(N)}=N$ .

État de magnétisation N-2 modifier

L'état de magnétisation N-2 est une superposition linéaire de tous les états possédant un spin down : $|\psi ^{(N-2)}\rangle =\sum _{i=1}^{N}\psi _{i}|\uparrow \cdots \uparrow {\underset {i}{\downarrow }}\uparrow \cdots \uparrow \rangle$ . En appliquant cet état sur l'hamiltonien, on trouve que l'état est état propre si les $\psi _{i}$ vérifient $E^{(N-2)}\psi _{i}=2\psi _{i-1}+2\psi _{i+1}+(N-2)\psi _{i}$

État de magnétisation N-4 modifier

L'état de magnétisation N-4 est une superposition linéaire de tous les états possédant un spin down : $|\psi ^{(N-4)}\rangle =\sum _{i<j}^{N}\psi _{i,j}|\uparrow \cdots \uparrow {\underset {i}{\downarrow }}\uparrow \cdots \uparrow {\underset {j}{\downarrow }}\uparrow \cdots \uparrow \rangle$ .

Utilisation et généralisations modifier

Ansatz de Bethe « en coordonnés »
Ansatz de Bethe algébrique
Ansatz de Bethe « imbriqué » (« nested Bethe ansatz »)
Ansatz de Bethe thermodynamique
Ansatz de Bethe périmetrique

Ansatz de Bethe « en coordonnés »

↑ (de) H. Bethe, « Zur Theorie der Metalle », Zeitschrift für Physik, vol. 71,‎ 1^er mars 1931, p. 205–226 (ISSN 0044-3328, DOI 10.1007/BF01341708, lire en ligne, consulté le 6 avril 2016)

[1] (de) H. Bethe, « Zur Theorie der Metalle », Zeitschrift für Physik, vol. 71,‎ 1^er mars 1931, p. 205–226 (ISSN 0044-3328, DOI 10.1007/BF01341708, lire en ligne, consulté le 6 avril 2016)

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