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Projet:Mathématiques

je viens d'enrichir cet article Mouvement brownien fractionnaire

Les extensions du mouvement brownien fractionnaire

Le mouvement brownien bi-fractionnaire

Définition

Le mouvement brownien bi-fractionnaire (mbif), des paramètres $\alpha \in (0,1)$ et $\beta \in (0,1]$, noté $\{B_{\alpha ,\beta }(t)\}_{t\geq 0}$ est l'unique processus gaussien centré, issu de zéro, dont la fonction du covariance est donnée par:

$\mathbb {E} (B_{\alpha ,\beta }(s)B_{\alpha ,\beta }(t))={\frac {1}{2^{\beta }}}{\Bigl (}(|s|^{2\alpha }+|t|^{2\alpha })^{\beta }-|s-t|^{2\alpha \beta }{\Bigr )}.$

*On note que $\{B_{\alpha ,1}(t)\}_{t\geq 0}$ est le mouvement brownien fractionnaire avec exposant de Hurst $\alpha \in (0,1)$.

Propriétés principales du mbif

-Le mbif est un processus $\alpha \beta$-autosimilaire.

-Les trajectoires du mbif sont Hôlder continues d'indice $0<\gamma <\alpha$.

En effetː Le mbif vérifie cette double inégalitéː pour tout $T>0$, pour tout $s,t\in [0,T]$, on aː

$2^{-\beta }{\mid t-s\mid }^{2\alpha \beta }\leq {\mathbb {E} (B_{\alpha ,\beta }(t)-B_{\alpha ,\beta }(s))}^{2}\leq 2^{1-\beta }{\mid t-s\mid }^{2\alpha \beta }.$(Ce dernier résultat montre aussi que le mbif est quasi hélice dans le sens de J.B Khane).

Alors, le théorème de Kolmogorov-Centsov assure que les trajectoires du processus $\{B_{\alpha ,\beta }(t)\}_{t\geq 0}$ sont Hölderiennes d'indice $0<\gamma <\alpha$.

-Les accroissements du mbif sont ni indépendants, ni stationnaires sauf le cas $\beta =1$.

-Contrairement au mbf, le mbif n'admet pas une représentation en fonction de l'intégrale de Wiener.

Le mouvement brownien sub-fractionnaire

Définition

Le mouvement brownien sub-fractionnaire (mb-sub), des paramètres $\alpha \in (0,1)$, noté $\{S_{\alpha }(t)\}_{t\geq 0}$ est l'unique processus gaussien centré, issu de zéro, dont la fonction du covariance est donnée par:

$\mathbb {E} (S_{\alpha }(s)S_{\alpha }(t))=s^{2\alpha }+t^{2\alpha }-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}(s+t)^{2\alpha }-|t-s|^{2\alpha }{\Bigr )}.$

*On note que $\{S_{1/2}(t)\}_{t\geq 0}$ coïncide avec le mouvement brownien standard.

Propriétés principales du mb-sub

-Le mb-sub $\{S_{\alpha }(t)\}_{t\geq 0}$ est un processus $\alpha$-autosimilaire.

-Les trajectoires du mb-sub sont Hölder continues d'indice $0<\gamma <\alpha$.

-Les accroissements du mb-sub sont ni indépendants, ni stationnaires sauf le cas $\alpha =1/2$.

-Le mb-sub est quasi hélice dans le sens de J.B Khane, comme le mbif $\{B_{\alpha ,\beta }(t)\}_{t\geq 0}$.

-Le mb-sub est ni un processus de Markov, ni une semi-Martingale, sauf pour le cas $\alpha =1/2$.

Le mouvement brownien mélangé

Définition

Le mouvement brownien mélangé (mbfm) , des paramètres $(a,b)\in {\mathbb {R} ^{2}}\backslash \{(0,0)\}$ et $\alpha \in (0,1)$, noté $\{M_{\alpha ,a,b}(t)\}_{t\geq 0}$ est le processus défini par:

$M_{\alpha ,a,b}(t))=aB(t)+bB_{\alpha }(t).$

avecː

$*\{B(t)\}_{t\geq 0}$ est le mouvement brownien standard.

$*\{B_{\alpha }(t)\}_{t\geq 0}$est le mouvement brownien fractionnaire de paramètre de Hurst $\alpha \in (0,1)$, qui est indépendant du $\{B(t)\}_{t\geq 0}$. .

Propriétés principales du mbfm

-Le mbfm $\{M_{\alpha ,a,b}(t)\}_{t\geq 0}$ est un processus gaussien centré.

-Pour tout $t\geq 0$, on aː $\mathbb {E} (M_{\alpha ,a,b}^{2}(t))=a^{2}t+b^{2}t^{2\alpha }.$

-Pour tout $t,s\geq 0$ et $(a,b)\in {\mathbb {R} ^{2}}\backslash \{(0,0)\}$, on aː $\mathbb {E} (M_{\alpha ,a,b}(s)M_{\alpha ,a,b}(t))=a^{2}(t\land s)+{\frac {b^{2}}{2}}{\Bigl (}t^{2\alpha }+s^{2\alpha }-|t-s|^{2\alpha }{\Bigr )},$ avec $t\land s:={\frac {1}{2}}(t+s-|t-s|).$

-Pour tout $\alpha \in (0,1)\backslash 1/2$ , $a\in \mathbb {R}$ et $b\in \mathbb {R} \backslash \{0\}$, le $\{M_{\alpha ,a,b}(t)\}_{t\geq 0}$ n'est pas un processus de Markov .

-Les accroissements du mbfm sont stationnaires.

De plus, ses accroissements sont pour tout $a\in \mathbb {R}$ et $b\in \mathbb {R} \backslash \{0\}:$

1-Positivement corrélés: si α $>$$1/2$.

2-Négativement corrélés: si α $<$ $1/2$.

3-Indépendants: si α=$1/2$.

-Les trajectoires du mbfm sont Hölder continues d'indice $0<\gamma <{\frac {1}{2}}\land \alpha$.

-Le processus$\{M_{\alpha ,a,b}(t)\}_{t\geq 0}$ est une semi-martingale pour le cas $\alpha \in ({\frac {3}{4}},1).$